Olympiades 1998

Dans un quadrilatère convexe ABCD, les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires et les côtés (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Les médiatrices des [AB] et [DC] se coupent en P, à l'intérieur de ABCD.

Montrez que les points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si les aires des triangles ABP et CDP sont égales.

Exercice 2:  Voir la Correction

Dans un concours, il y a a concurrents et b juges (b est impair et supérieur ou égal à 3). Chaque juge attribut à chaque participant la mention " admis " ou " recalé ".

Soit k un nombre tel que les mentions attribuées par deux juges quelconques coïncident au plus pour k participants (quels que soient les deux juges).

Montrez que .

Exercice 3:

Pour tout entier strictement positif n, on définit d(n) comme le nombre de diviseurs strictement positifs de n (1 et n compris).

Déterminez l'ensemble des entiers strictement positifs k pour lesquels il existe n tel que .

Exercice 4:

Trouver tous les couples (a, b) d'entiers strictement positifs tels que ab² + b + 7 divise a²b + a + b.

Exercice 5:

Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Ce cercle est tangent aux côtés [BC], [CA] et [AB] du triangle respectivement en les points K, L et M. La droite parallèle à (MK) passant par B coupe (LM) et (LK) respectivement en R et en S.

Prouvez que est aigu.

Exercice 6:

On considère toutes les applications f de l'ensemble de tous les entiers strictement positifs dans lui-même vérifiant f(t²f(s)) = sf(t)² quels que soient s et t de .

Déterminez la plus petite valeur possible de f(1998).