.Olympiades 1999
Exercice 1:Déterminez tous les ensembles S finis du plan contenant au moins trois points tels que pour deux points quelconques A et B de S, la médiatrice de [AB] soit un axe de symétrie de S.
Exercice 2:
Soit n > 1 un entier fixé.
a) Déterminez la valeur
minimale de la constante C telle que pour toute suite de nombres réels
positifs ou nuls x1, x2, .,
xn :.
b) Déterminez les cas d'égalité.
Exercice 3:
Soit un échiquier carré de côté n avec n pair. Deux cases sont adjacentes si et seulement si elles ont exactement un côté commun.
Déterminez le nombre minimum de cases que l'on doit marquer pour que toute case de l'échiquier ait une case adjacente marquée.
Exercice 4:
Déterminez tous les couples (n, p) d'entiers
strictement positifs tels que p soit premier, 
et
np-1 divise
(p - 1)n + 1.
Exercice 5:
Les cercles C1 et C2 sont à
l'intérieur du cercle C et lui sont tangents respectivement aux points
M et N.
C1 passe par le centre de
C2.
La droite passant par les deux points communs de
C1 et C2 coupe C en A et en
B.
(MA) et (MB) recoupent C1
respectivement en C et en D.
Montrez que (CD) est tangente à C2.
Exercice 6:
Déterminez toutes les fonctions de l'ensemble des nombres réels dans
lui-même
telles que
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1.