Correction

Posons S = xy + yz + zx - 2xyz . On peut toujours supposer que et .

Remarquons que les hypothèses sur x , y et z impliquent que ces trois nombres ne peuvent pas être tous > car leur somme est 1.

Donc, on doit avoir .

Posons alors a tel que y = x + a . On a alors z = 1 - x - y = 1 -2x - a.

D'où S = = .

S est donc un fonction polynôme P du second dégré en a . Sa dérivée est: P'(a) = ( - 1 + 2x )(3x - 1 + 2a ) .

Comme , on a donc P'(a) est du signe contraire de ( 3x - 1 + 2a ). D'où P'(a) > 0 si et seulement si .

Comme , on a : .

Le maximum de P(a) est atteint pour et ce maximum est : .

Les variations de la fonction sur l'intervalle [ 0; ] montrent qu'elle admet un maximum pour que ce maximum est .

Conclusion:

S est bien compris entre 0 et et la valeur n'est atteinte que si x = y = z =