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Correction Exercice 3 : Groupe 2 1997

  1. Faisons un tableau pour résumer les contraintes du gérant de l'hotel :

    Lot A
    x    		 Lot B
    y    		 Contraintes
    Draps 2 3 90
    Serviettes 4 12 240
    Gants de toilette 8 6 240
    Prix du lot 200 400 200x + 400y
    Comme x et y doivent être positifs, l'ensemble des contraintes du gérant peuvent alors s'écrire:

    ( C ) x et y 0
    2x + 3y 90
    4x + 12y 240
    8x + 6y 240

  2. Le système dont on demande la représentation graphique est le système précédent après simplification.
    Considérons les droites suivantes:
    • D1 d'équation "x = 0"
    • D2 d'équation "y = 0"
    • D3 d'équation "2x + 3y = 90"
    • D4 d'équation "x + 3y = 60"
    • D5 d'équation "4x + 3y = 120"
    La représentation graphique de ce système donne alors:

    1. Comme le prix d'un lot A est de 200 francs et que le prix d'un lot B est de 400 francs, le prix total pour x Lots A et y lots B est:
      ( 200x + 400y ) francs
      La dépense est donc : D(x , y ) = 200x + 400y.
    2. On peut savoir simplement s'il est possible de procéder aux achats nécéssaires
      avec 5 000 francs en traçant sur la figure précédente la droite D d'équation:

      D : 200x + 400y = 5000

      On obtient alors la figure suivante:

      On constate alors cette droite n'a aucun point commun avec le polygône des contraintes.
      Il n'est donc pas possible de procéder aux achats avec 5 000 francs.

  4. Pour une dépense de N francs, les choix de x lots A et y lots B correspondent aux points de la droite DN d'équation :
    DN : 200x + 400y = N
    Pour N quelconque, cette droite est parallèle à la droite D.
    On remarque que pour N = 0 , la droite DN passe par l'origine du repère et est située à gauche de D.
    Donc, la valeur de N sera d'autant plus grande que la droite DN sera éloignée et à droite de D.
    On cherche donc la droite DN parallèle à D, ayant des points communs avec ( C ) et la plus proche possible de D.
    Graphiquement, on voit alors que c'est la droite passant par le point A d'intersection des droites D3 et D4.
    En utilisant les équations de D3 et D4, on détermine alors les coordonnées du point A.
    On trouve alors A(30 ; 10).
    La dépense minimale du gérant est donc de (200*30 + 400*10) francs , c'est à dire
    Dépense minimale = 10 000 francs
    obtenue pour 30 lots A et 10 Lots B
    Pour finir, on peut aussi préciser que le gérant, pour cette dépense
    aura:
    • 90 draps de bain,
    • 240 serviettes,
    • 300 gants de toilettes.