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Correction Exercice 4 : Polynésie 1995

  1. Placer les points E et F ne pose aucun problème.
    Le point E a pour coordonnées (13 ; 14) et correspondant à l'achat de 13 lots A et 14 lots B.
    Le nombre de pains au chocolat est alors : 13*12 + 14*9 = 282 108.
    Le nombre de croissants est alors : 13*8 + 14*12 = 272 96 .
    L'achat associé au point E permet de satisfaire la demande.

    En revanche, le point F a pour coodronnées (10 ; 1).
    Le nombre de pains au chocolat est alors : 10*12 + 1*9 = 129 108.
    Le nombre de croissants est alors : 10*8 + 1*12 = 92 < 96.
    Le nombre de croissants n'est pas suffisant pour satisfaire la demande.
    L'achat associé au point F ne permet pas de satisfaire la demande.

  2. Formons le tableau des contraintes, en appelant x le nombre de lots A et y le nombre de lot B.
    Lot A
    x    		 Lot B
    y    		 Contraintes
    Pains au
    chocolat    		 12 9 108
    Croissants 8 12 96
    Prix p p Prix Total
    =
    p( x + y )

    Les contraintes portant sur x et y sont alors : 12x + 9y 108

    8x + 12y 96

    Ce système se simplifie et donne: 4x + 3y 36

    2x + 3y 24
    L'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant ce système et, de plus les contraintes

    x 0 et y 0
    est alors, en considérant les droites :
      -D1 : " 4x + 3y = 36 "
      -D2 : " 2x + 3y = 24 "
      -Le point A est le point d'intersection de ces deux droites.
  3. Comme le prix des lots A et B est identiques, le coût total, en fonction de x et y est:
    COUT TOTAL = p( x + y )
    Minimiser le coût total revient donc à minimiser (x + y ). Le nombre (x + y ) est le nombre de lots achetés au total.
    1. Droites D9 et D11.
      On remarque que D9 a une intersection vide avec l'ensembles des points qui représentent les contraintes portant sur x et y.
      Donc, on ne peut pas satisfaire à la demande en achetant 9 lots au total.

      On remarque que D11 a une intersection non vide avec l'ensembles des points qui repr"sentent les contraintes portant sur x et y.
      On peut donc satisfaire à la demande en achetant 11 lots au total.

    2. La droite correspondant à un achat au moindre coût est la droite parallèle aux droites D9 et D11 et passant par le point A appartenant aux droites D1 et D2.
      Ce point a pour coordonnées (4 ; 6).
      L'achat permettant de satisfaire la demande au moindre coût est donc:
      4 lots A
      6 lots B