Liste 2 : Géométrie espace

Exercice 1:
On se place dans l'espace E muni d'un repère orthonormé. .
On considère les plans P1 et P2 d'équations respectives:

P1 :2x + y + z = 3
P2 :3x + 2y + 2z = 4
  1. Donnez un vecteur normal au plan P1 et un vecteur normal au plan P2.
  2. a: Montrez alors que l'intersection de ces deux plans est une droite D.
    b: Montrez que le point A de coordonnées ( 2 ; -2 ; 1 ) appartient à D.
    c: Montrez que le vecteur de coordonnées ( 0 ; -1 ; 1) est un vecteur directeur de D.
  3. On définit maintenant le plan P comme étant le plan orthogonal à D et passant par le point B de coordonnées ( 2 ; 3 ; 4 ).
    a: Donnez une équation cartésienne de P.
    b: Expliquez pourquoi le point d'intersection C des trois plans P1 , P2 et P a pour coordonnées la solution du système :
    { 2x + y + z = 3
    3x + 2y + 2z = 4
    y - z = -1
    c: Déterminez alors les coordonnées de C.
  4. On veut retrouver les coordonnées de C d'une autre manière.
    a: Montrez que le point M de coordonnées (x ; y ; z ) appartient à D si et seulement si il existe un réel l tel que:
    { x = 2
    y = -2 - l
    z = 1 + l
    b: Déterminez la valeur de l pour que le point M appartienne à P.
    c: Retrouvez alors les coordonnées du point C.

Exercice 2:
Dans l'espace muni E d'un repère orthonormé , on définit les points suivants:
A( 1 ; 1 ; 1) , B(2 ; 1 ; 3 ) , C(-1 ; 3 ; 5) , D(4 ; -5 ; 0) et E(-2 ; -1 ; 7).
  1. a: Montrez que les trois ponts A, B et C définissent un plan P.
    b: Déterminez un vecteur normal au plan P.
    c: Donnez alors une équation cartésienne de P.
  2. a: Le point D appartient-il au plan P? même question pour E.
    b: Les vecteurs et  sont-ils orthogonaux? Que peut-on en déduire pour la droite (DE) et le plan P ?