Exercice 1:
Résolvez les systèmes suivants en donnant à chaque fois une interprétation géométrique de la solution.

Exercice 2:
Dans l'espace E muni d'un repère orthonormé (), on considère le plan P d'équation:
 P : 2x + 3y + z = 6 et le point A de coordonnées (-1 ; 2 ; 10).
D est la droite passant par A et orthogonale à P.

1. Le point A appartient-il au plan P?
2. Donnez une vecteur directeur de D.
3. a: Montrez que le point M de coordonnées (x ; y ; z) appartient à D si et seulement si il existe un réel l tel que: x = -1 + 2l , y = 2 + 3l , z = 10 + l b: Donnez alors les coordonnées du point H d'intersection entre la droite D et le plan P.
   c: Calculez la distance AH. Comment pouvez-vous interpréter ce résultat par rapport au point A et au plan P.

Exercice 3:  D'après National Juin 99
L'espace est mui d'un répère orthonormal ( ).
Le plan ( R ) a pour équation : x + z = 2.
On donne les points A , B et C définis par leurs coordonnées respectives: A ( 6 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 3 ; 0 ) , C( 0 ; 0 6 )

1. Montrez que les trois points A, B et C définissent un plan ( P ).
2. Soit le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1 ).
   a: Montrez que est un vecteur normal au plan ( P ).
   b: Vérifiez que le plan ( P ) a pour équation x + 2y + z = 6.
3. a: Montrez que l'intersection de ( P ) er de ( R ) est une droite ( D ).
   b: Déterminez l'intersection de ( D ) et du plan d'équation " y = 2 ".
   

Exercice 4: D'après Asie Juin 99
Dans l'espace rapporté au repère orthonormal ( ), on considère les points:

A(0; 0 ; 18) , B(0 ; 15 ; 0) , C(22,5 ; 0 ; 0 ) ,
D(0 ; 0 ; 12,5) , E(0 ; 25 ; 0 ) , F(12,5 ; 0 ; 0 ).

Le plan (ABC) a pour équation : 4x + 6y + 5z = 90.
Le plan (DFE) a pour équation 2x + y + 2z = 25.
G est le point d'intersection des droites (DE) et (AB).
I est le point d'intersection des droites (EF) et (BC).

On admet que tout point M(x ; y ; z) appartenant au polyèdre ODGBIF a des coordonnées qui satisfont aux conditions:

Une usine fabrique 3 types de vannes pour l'industrie pétrolière.
Pour fabriquer le modèle V1, il faut 20 heures d'usinages et 20 heures de montage.
Pour fabriquer le modèle V2, il faut 30 heures d'usinages et 10 heures de montage.
Pour fabriquer le modèle V3, il faut 25 heures d'usinages et 20 heures de montage.

Le nombre d'ouvriers spécialisés permet de disposer de 450 heures d'usinages par semaine.
Le nombre d'ouvriers monteurs permet de disposer de 250 heures de montage par semaine.

On désigne par x le nombre de modèles V1 fabriqués dans une semaine, y le nombre de modèle V2 fabriqués et z le nombre de modèle V3.

Le bénéfice réalisé sur une vanne V1 est de 2 000 F, sur une vanne V2 , il est de 3 000 F et sur une vanne V3, il est de 5 000 F.

Un point de coordonnées (x ; y ; z ) représente une production.

1. Faites une figure en plaçant les points A, B , C , D , E , F et tracez les segments [AB], [BC] , [AC] , [DE], [DF] et [EF].
2. Montrez que l'intersection des plans (ABC) et (DEF) est la droite (GI).
3. Placez les points G et I sur la figure.
4. Montrez que l'ensemble des points représentant une production possible est le polyèdre ODGBIF.
5. Montrez que l'ensemble des points représentant une production fournissant un bénéfice de
   30 000 F sont situés sur le plan (P) d'équation : 2x + 3y + 5z = 30.
   Déterminez les trois points d'intersection entre (P) et les axes de coordonnées.
   Représentez alors l'intersection de (P) et du polyèdre ODGBIF.
   
6. Montrez qu'une production de 5 vannes V1, de 5 vannes V2 et d'une vanne V3 est réalisable par cette usine et que le bénéfice alors réalisé est de 30 000 F.
   Quelle conclusion en tirez-vous sur la position du point K de coordonnées (5 ; 5 ; 1 ) ?
7. Montrez que les points représentants une production pour lequel le bénéfice total est de 60 000 F sont situés sur le plan (Q) d'équation : 2x + 3y + 5z = 60.
8. Quelle remarque pouvez-vous faire sur les plans (P) et (Q) ?
9. On admet que le bénéfice réalisé par l'usine est maximale lorsque le ( R ) d'équation
   2x + 3y + 5z = b passe par le point G .
   a: Quelles sont les coordonnées du point G?
   b: Montrez alors que le bénéfice maximal est :