- Un joueur lance deux dés don't les faces sont numérotées
de 1 à 6. On suppose que les dés sont non-truqués
et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même
probabilité d'apparition.
Le joueur suivant les règles
suivantes:
- Si les deux dés donnent le même
numéro alors le joueur perd 10 points
- Si les deux
dès donnent deux numéros de parités différentes
(l'un est pair et l'autre impair) alors il perd
5 points.
- Dans les autres cas il gagne 15 points.
Le
joueur joue une partie et on note X la variable alèatoire
correspond au nombre de points obtenus par lui.
a
. Déterminez la loi de probabilité de X puis
calculez l'espérance de X.
b.
Représentez graphiquement la fonction de répartition
de X.
Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats
des parties sont indépendants les uns des autres.
On
appelle alors Y la variable aléatoire égale au
nombre de fois que le joueur gagne 15 points.
c.
Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont les
paramètres de Y?
d.
Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins
une fois 15 points?
e.
Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 points?
Le
joueur joue n parties de suite.
f.
Quelle est la probabilité qu'il gagne au moinss une fois
15 points?
g. A partir
de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins
une fois
15 points
est strictement supérieure à 0,9999 ?
Correction
- Amérique
de Nord Juin 2000 Bac ES
Les résultats de cet exercice
seront donnés sous forme décimale arrondie au
centième.
Un camp d'adolescents propose des stages
d'activités nautiques pour débutants avec au choix:
Planche à voile , plongée ou ski nautique.
Lors
d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes don
sept seront initiés à la planche à voile,
huit à la plongée et cinq au ski nautique.
Chaque
stagiaire ne pratique qu'une seule des trois activités.
I.
On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les
vingt.
a: Combien de groupes
est-il possible de former?
b:
Déterminez la probabilité de chacun des événements
suivants:
A : " les trois stagiaires pratiquent des activités
différentes "
B
: " Les trois stagiaires pratiquent la même activité
"
C
: " Au moins l'un des trois stagiaires pratique le ski
nautique ".
II . Parmi les trois stagiaires,
un seul se prénomme Christian.
Chaque
jour, on choisit un groupe de trois stagiaires chargé
du service au
repas de midi.
a.
Montrez que la probabilité que Christian soit choisi
un jour donné
pour le service de
midi
est égale à 0,15.
b.
La durée du stage est de cinq jours.
Quelle
est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour
le service
de midi pendant le
séjour ?
c.
Quelle est la probabilité de le choisir exactement une
fois ?
d. Montrez
que la probabilité de choisir Christian au moins deux
fois
est inférieur à 0,2 .
Correction
- D'après France Métropolotaine
Septembre 1999 - Bac ES
Un entraineur d'une équipe
de football a étudié les statistiques de tir au
but (pénalty) de ses joueurs. Il a alors remarquer
que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris
au hasard dans son équipe marque
- 5 buts avec une
probabilité de 0,2
- 4 buts avec une probabilité
de 0,5
- 3 buts avec une probabilité de 0,3.
Chaque
joueur, à l'entrainement, tire 2 séries de 5 ballons.
On admet que les résultats d'un joueur à
chacune des 2 séries sont indépendants.
Soit
X la variable aléatoire égale au nombre de tirs
aux buts réussis par un joueur au cours d'un entrainement.
I.
a . Calculez la
probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir
tous ses tirs au
buts lors d'un
entrainement.
b . Précisez
les valeurs possibles pour X et établir sa loi de probabilité.
(on pourra s'aider
d'un
arbre).
c . Calculez l'espérance
de X .
II. L'entraineur considère que le
joueur a réussi l'épreuve des tirs au but lorsque
X > 8.
Montrez que
la probabilité pour un joueur de réussir cette
épreuve lors d'un
entrainement
est
égale à 0,61 .
III.Chaque joueur
participe à 10 séances d'entrainement.
On admet
que les épreuves de tirs au
but sont indépendantes les unes des autres.
On
appelle Y la variable aléatoire égale au nombre
de succés d'un joueur à l'épreuve
des tirs
au but au cours des ces 10 entrainements, c'est à dire
le nombre de fois où
il a marqué
au moins 8 buts.
Si au cours d'une séance d'entrainement,
il ne marque pas au moins 8
buts,
on dit qu'il a eu un échec.
Les
résultats seront donnés par défaut, avec
3 chiffres après la virgule.
Calculez
pour un joueur :
a
. la probabilité de n'avoir aucun échec lors des
10 séances.
b
. la probabilité d'avoir exactement 6 succès .
c
. la probabilité d'avoir au moins 1 succès.
III
.Calculez le nombre minimale d'entrainement auxquels doit participer
un joueur pour que la probabilité
d'avoir au moins un succès soit supérieure à
0,99. Correction
- Antilles-Guyane
1995 Bac S
Une épreuve consiste à jeter
une fléchette sur une cible partagée en trois
cases notées
1
, 2 ,
3.
Deux concurrents A et
B sont en présence.
On admet qu'à chaque lancer,
chacun atteint une case et une seule et que les
lancers
sont indépendants.
Pour le concurrent A, les probabilités
d'atteindre les cases 1 , 2 , 3
sont dans cet ordre :
1
1
7
12
3
12
Pour
le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.
Les
résultats demandés seront donnés sous forme
de fractions irréductibles.
I.
Le concurrent A lance la fléchette 3 fois.
Les
résultats des 3 lancers sont indépendants.
a
. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque
fois la case 3?
b
. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases
1 , 2 , 3 dans cet ordre ?
c
. Quelle est la probabilité
pour qu'il atteigne les cases 1 , 2 , 3 dans n'importe
quel ordre
?
II.
On choisit un des deux concurrents.
La probabilité de choisir A est égale à
deux fois la probabilité de choisir B.
a
. Un seul lancer est effectué.
Quelle
est la probabilité pour que la case 3 soit atteinte
?
b
. Un seul lancer a été effectué, et la
case 3 a été atteinte.
Quelle
est la probabilité pour que ce soit le concurrent A qui
ait lancé la
fléchette?
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