Exercice 1 (bac) : Série S, Amérique du Nord, 1996
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n
sacs de jetons S1, S2, ., Sn .
Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs
et 1 blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton
blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton
de ces sacs, effectués de la façon suivante :
- Première étape : on tire au
hasard un jeton de S1 ;
-
Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on
tire, au hasard, un jeton de S2 ;
-
Troisième étape : après avoir placer dans
S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3. et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel k tel que 1< k < n, On
note Ek l'événement "le jeton tiré
de Sk est blanc"
1:
a) Déterminez
la probabilité de E1, notée P(E1), et les probabilités
conditionnelles:
Déduisez-en la probabilité de E2,
notée P(E2).
b) Pour tout entier k tel
que 1 < k < n, la probabilité de Ek
est notée pk.
Justifiez
la relation de récurrence suivante :
2:
Etude d'une suite (uk).
On
note (uk)
la suite définie par 
a)
On considère la suite (vk)
définie par, pour tout élément k de N*,
vk
= uk
- 0,5.
Démontrez que la
suite (vk)
est une suite géométrique.
b)
Déduisez-en l'expression de uk
en fonction de k.
Montrez que la suite
(uk)
est convergente et précisez sa limite.
3:
Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminez pour
quelles valeur de k on a:
0,4999
<
pk
<
0,5
CORRECTION:
Exercice 2
Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que :
- s'il a arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [ le (n + 1)ieme] est 0,8;
- s'il n'a pas arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6 .
- la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7
Dans tout l'exercice, si E est un événement, on note p(E) la probabilité de E, E, l'événement contraire de E. On note p(E/f ) la probabilité conditionnelle de l'événement E sachant que F est réalisé. An est l'événement ''le gardien arrête le nieme tir''. On a donc p(A1 )= 0,7.
- a: Donnez pour n >
1 les valeurs de p(An+1 / An ) et p(
n+1 / An)
b: Exprimez p(An+1
An ) et p(An+1
n ) en fonction de p(An
)
c:Déduisez-en que, pour tout entier strictement positif n ³ 1 on a :p(An+1 ) = 0,2 p(An ) + 0,6.
- On pose à présent, pour n >
1, pn = p(An
) et un = pn - 0,75
a: Démontrez que (un) est une suite géométrique de raison 0,2
b:Déduisez-en une expression de pn en fonction de n
c:Montrez que (pn ) admet une limite que l'on calculera.
Exercice 3
Dans une salle de jeu un appareil comporte 4 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de fruits différents:
Ananas, Bananes, Cerises, Dattes, Fraises, Grosilles, Poires, Raisins.
Une mise de 1F déclenche le fonctionnement de l'appareil pour une partie.
Chacune des quatre roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces 8 fruits.
Exemple d'affichage :
On admettra que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
- Calculez la probabilité des événements suivants :
E : on obtient quatre fruits identiques;
F : on obtient trois fruits identiques et trois seulement;
G : on obtient quatre fruits distincts. - Certains résultats permettent de gagner de l'argent :
50 F pour quatre fruits identiques;5 F pour trois fruits identiques;1 F pour quatre fruitsdistincts;
0 F pour les autres résultats.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain indiqué ci-dessus.
a: Quelle est la probabilité de l'événement "obtenir un gain non nul "?
b: Déterminez l'espérance mathématique de X, notée E[X].
N.B. Les résultats seront donnés sous forme décimale avec trois chiffres significatifs.
Exercice 4
Dans une population donnée, 15 % des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus atteints de la maladie Ma, 20 % ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la maladie Ma, 4 % ont la maladie Mb.
- On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements suivants :
" l'individu est atteint de la maladie Ma "
" l'individu est atteint de la maladie Mb"
désigne l'événement contraire de A, PA (B) désigne la probalité de "B sachant A" c'est à dire la probalité conditionnelle de B par rapport à A.
a: Donnez les valeurs de p(A), pA(B) et p (B)
b: Calculez p(B
A ) et p(B
). Déduisez-en p(B)
c: Calculez pB(A) - On prend 10 individus au hasard dans cette population et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de ceux ayant la maladie Ma et la maladie Mb.
a:Quelle est la loi de probabilité de X ?
(Donnez, en fonction de k, la probailité P(X=k), où O < k < 10 )
b: Déterminez la probabilité de l'événement "deux individus au plus sont atteints de la maladie
Ma et la maladie Mb "
Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme décimale à 10-3 près.