Liste 4  

1:
a:: Calculez la probabilités de l'événement: "Toutes les boules titées sont de même couleur "
b: Calculez la probabilités de l'événement: "On obtient exactement une boule blanche".
c: Déduisez-en que les probabilités p(A et B) , p(A) et p(B) sont:

p(A et B) = ; p(A) = 1- ; p(B) =

2: Montrez que p(A et B) = p(A).p(B) si et seulement si 2 ^{( n - 1)} = n+1.
3: Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par: Un= 2 ^{(n - 1)} - (n+1)
   a:  Calculez les trois premiers termes de cette suite.
   b: Démontrez que cette suite est stritement décroissante.

4: Déduisez-en la valeur de l'entier n tel que les événements A et B soient indépendants

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Exercice 2 Amérique du Nord juin 1999

Partie I

Lors de la préparation d'un concours, un élève n'a étudié que 50 des 100 leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons indépendantes. Le candidat tire simultanément au hasard 2 papiers.
On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles.
  1: Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets?
  2: Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets?
  3: Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets?
  4: Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets?

Partie II
On considère maintenant que l'élève a étudié n des 100 leçons ( n étant un entier naturel inférieur ou égal à 100).
1: Quelle est la probabilité Pn qu'il connaisse au moins un de ces sujets?
2: Déterminez les entiers n tels Pn soit supérieur ou égal à 0,95.

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Exercice 3 Centres Etrangers Groupe 1 999
1: Une urne U 1 contient 2 jetons numérotés 1 et 2. Une urne U 2 contient 4 jetons numérotés 1 , 2 , 3 et 4.
   On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne.(Les choix sont supposés équiprobables).
   a: Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1?
   b: On a tiré un jeton portant le numéro1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'urne U 1 ?

2: On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents.
    On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables.
    a: Calculez la probabilité de tirer 2 jetons identiques.
    b: Soit S la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe la somme des numéros des 2 jetons tirés.
        Déterminez la loi de probabilité de S.
    c: Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros est impaire,
        Claude donne 10 euros à Dominique et que dans le cas contraire, Claude reçoit x euros de Dominique.
        On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de Claude.
        Calculez l'espérance mathématique de X en fonction de x, puis
        déterminez x pour que le jeu soit équitable.

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Exercice 4 France-Métropolitaine juin 98
Dans cet exercice, A et B étant deux événements, p(A) désigne la probabilité de A;
p(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.
1: Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est
   une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité:
                                       p _i = p( X = i ) et p ₀ = 0,1 ; p ₁ = 0,5 ; p ₂ = 0,4
  a: Définir et représentez graphiquement la fonctionde répartition de X.
  b: Calculez l'espérance mathématique de X

2: Dans cette station service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7;
   celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant des autres clients.
   On considère les événements suivants:
        C1 :" En cinq minutes, un seul client se présente" ;
        C2 :" En cinq minutes, deux clients se présentent";
        E :" En cinq minutes, un seul client achète de l'essence".

   a: Calculer p( C1 et E ).
   b: Montrer que p(E / C2) = 0,42 et calculez p(C2 et E).
   c: En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence.

3: Soit Y la variable alèatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes.
    Déterminer la loi de Y

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Exercice 5 Guadeloupe-Guyane-Martinique juin 98
Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs: violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge.
Un domino se dompose de deux cases protant chacune l'une des sept couleurs.
Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino: c'est un double.

1: Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents.
 Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.

2: On tire simultanément trois dominos du sac.
   Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos?

3: Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des événements suivants:
     a: J2: " Le jaune figure deux fois "
     b: J1: " Le jaune figure une seule fois "
     c: J : " Le jaune figure au moins une fois "

4: On effectue n tirages successifs d'un domino, en notant à chaque tirage la ou les couleurs
    obtenues avant de remettre dans le sac le dominé tiré et de procéder au tirage suivant;
    les tirages sont indépendants.

   a: Calculer, en fonction de n, la probabilité Pn que J soit réalisé au moins une fois.
   b: Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle Pn soit supérieur ou égal à 0,99 .
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Exercice 6 Guadeloupe-Guyane-Martinique-juin99
Lors d'un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M) est utilisé.
On s'intéresse à cinq questions de ce (Q.C.M) supposées indépendantes.
A chaque question sont associées quatre affirmation, numérotées 1 , 2 , 3 et 4 , dont une
seule est exacte. Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le
numéro de l'affirmation qu'il juge exacte. Sa réponse est correcte si l'affirmation qu'il a retenue
est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire.

1: Un candidat répond à chaque question au hasard, c'est à dire qu'il considère que les quatres
   affirmations correspondantes sont équiprobables.
   a: Calculer la probabilités des événements suivants:
        A: " Le candidat répond correctement à la première des cinq questions";
        B: " Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq questions ".
   b: On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note (-1) à toute réponse incorrecte.
       Calculer la probabilité de l'événement C: " Le candidat obtient une note au moins égale à 10
        pour l'ensemble des cinq questions."

2: on suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse coreecte à deux questions et qu'il répond
   au hasard aux trois autres questions.
   Quelle est alors la probabilité de l'événement C décrit en 1:b: ?

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