Exercice 1
Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun deux sujets. On dispose donc de vingt sujets que l'on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se présentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième.
On note A₁ l'événement : " les deux sujets obtenus par le premier candidats proviennent du même examinateur" et A₂ l'événement : " les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur".On note  l'événement complémentaire de A.

1. Montrez que la probabilité de A₁ est  
   a) Calculez directement la probabilité : p( A₂/A₁)
   b) Montrez que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenants d'un même examinateur est égale à
    
2. a)Calculez p(A₂/₁)
   b)Calculez p(A₂) puis montrez que p(A₁ U A₂) =
    
3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats ayant choisi chacun deux sujets provenants d'un même examinateur. X prend donc les valeurs 0, 1 et 2.
   a)Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X
   b)Calculez l'espérance mathématiques de X

CORRECTION

Exercice 2

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 5 ^o/_oo (5 pour mille) de ce cheptel.

1. On choisit, au hasard, n bovins du cheptel et l'on désigne par X la variable aléatoire définie par le nombre de malades parmi ces n animaux.
   a)Si n = 10, calculez à 10^-3 près, les probabilités suivantes : P(X=0), P(X ³ 1).
   b)Déterminez n pour que l'espérance mathématiques de X soit égale à 0,10.
2. Des études statistiques ont montré que la probabilité pour un animal d'avoir un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est 0,8 % et que celle d'avoir un test négatif sachant qu'il n'est pas atteint par la maladie est 0, 9.
   On note :
   T l'événement "avoir un test positif à cette maladie"
   M l'événement "être malade"
   M l'événement contraire de l'événement M
   a)Montrez que : T = (M Ç T) È (MÇ T)
   b)Calculez la probabilité pour un animal d'avoir un test positif à cette maladie
   c)Calculez la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif.
   On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
   Que peut-on conclure sur la fiabilité du test?

Exercice 3:
Une usine fabrique en serie des vélos, la fabrication comporte 2 phases. 1ère phase fait apparaître un défaut"a" dans 2% des cas; la 2ème phase, un défaut "b" dans 10% des cas

1- un vélo est tirée au hasard
on définit les évènements suivants:
A "le vélo présente le défaut "a"
B " le vélo présente le défaut "b"

On suppose que les événement Aet B sont indépendants

Calculer la probabilité des évenements suivants:
C : " le vélo présente les 2 défauts"
D : " le vélo ne présente aucun des deux défauts"
E : " le vélo présente un et un seul des deux défauts"
2-Au cours de la fabrication on prélève au hazard, successivement 5 vélos. On admettra que le nombre de vélo fabriquées est assez grand pour estimer que la proportion de vélos défectueux reste constant au tirage.
Déterminer la probabilité de l'événement F"4 vélos au moins n'ont aucun défaut". On admettra la valeur exacte de cette probalilité, puis une valeur décimale approchée au millième prés
CORRECTION