1)
a)Le premier chosit 2 sujets parmi les 20 possibles. Il a donc C²₂₀ = 190 choix possibles.
      Comme il a exactement 10 choix pour 2 sujets venant du même examinateur, on a bien:
      P(A) =

b) Si le premier candidat a choisi 2 sujets venant du même examinateur, alors il reste au deuxième candidat 18 sujets. Il a alors C²₁₈ = 153 choix. Il a exactement 9 choix de 2 sujets venant du même examinateur donc la probabilité qu'à le deuxième candidat de choisir 2 sujets venant du même examinateur sachant que le premier candidat a fait de même est :
P(A₂ / A₁) =
c) D'après le principe des probabilités conditionnelles, on a donc bien :
     P(A₁ A₂) = P(A₂/ A₁ )P(A₁) =

2)
a) Si le premier candidat n'a pas tiré deux sujets venant du même examinateur, le second candidat a toujours C²₁₈ choix pour les deux sujets, mais il n' a que 8 choix pour avoir deux sujets du même examinateur. Donc: P(A₂ / ₁) =
b) D'après la loi des Probabilités Totales, on a :
    P(A₂) = P(A₂/ A₁ )P(A₁) + P(A₂ / ₁)P(₁) = P(A₂/ A₁ )P(A₁) + P(A₂ / ₁)(1-P(A₁))
    D'où :
     .
    En utilisant alors la relation : P(A₁ U A₂) = P(A₁) + P(A₂) - P(A₁  A₂) , on obtient bien
    après un simple calcul : P(A₁ U A₂) =

Remarquons que l'on peut alors former le tableau suivant qui résume les probabilités calculées et qui permet de déduire celles qui manque:

3)
a) D'après les questions précédentes, on a :
     P( X= 2) = P(A₁ A₂) =
     P(X = 1 ) = P(A_{1 2}) + P(₁ A₂)
                     = [1-P(A₂ / A₁)]P(A₁) + P(A₂ / ₁)P(₁)
                     =
     P( X = 0) = 1 - P(X = 1) - P(X = 2 ) =
b) E[X] =