Ex 1 : Antille-Guyane 1995
Une personne recoit 200 000 F en héritage.
Le 1er janvier 1995, elle a placé cette somme à intérêts
composés au taux annuel de 7,5%
1 : De quelle somme disposera-t-elle le 1er janvier 1996?
2: On pose Uo = 200 000. On désigne par U n la
somme dont elle dispose le 1er janvier de l'année (1995+n).
a: Etablir une relation entre U n+1 et U n .
En déduire que la suite (U n ) est une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme.
b: Exprimer U n en fonction de n.
c: Calculer U 12 .
3: Une publicité annonce: "Gagnez de l'argent avec le
placement GENEREUX qui rapporte 100% en 12 ans"
a: Ce placement est-il plus ou moins intéressant que le précédent?
Justifier la réponse.
b: Déterminer son taux annuel sachant qu'il s'agit aussi d'un
placement à intérêt composés.
Correction
Ex2 : Centres Etrangers 1995
En 1990, Monsieur Dufisc a fait sa première
déclaration d'impôts sur le revenu:
Il a déclaré un revenu
annuel de 90 000 francs, l'impôt correspondant s'est élevé à
8000 francs et
son revenu après impôt a donc été de 82 000
francs.
Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté
de 2% et l'impôt correspondant
a augmenté de 3%.
Monsieur Dufisc souhaite étudier ce qu'il adviendra de son
revenu après paiement de l'impôt
si l'évolution constatée se
poursuivait.
Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit
et, pour tout entier n positif ou nul,
on note: Rn le montant, exprimé en francs, du
revenu annuel de Monsieur Dufisc en l'an (1990+n),
In le montant, exprimé en francs, de l'impôt
correspondant,
Un = Rn - In, le revenu après impôt.
Ro = 90 000 , Io = 8 000 , Uo = 82 000
1.a: Calculer R 1 , I 1 , U 1 ,
R 2 , I 2 , U 2 .
b: Montrer que, pour tout entier
positif n , on a : R n = 90 000.(1,02) n et
I n = 8 000.(1,03) n .
2.a: Montrer que, pour tout entier positif n, U n+1
- U n = 1800.(1,02) n - 240.(1,03) n .
b: Montrer que Un+1
< Un si et seulement si ![[Maple Math]](images/suites3.gif) .
c: Déterminer les
entiers positifs n qui vérifient ![[Maple Math]](images/suites4.gif) .
3: Si l'évolution que Monsieur Dufisc a constatée
concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, Monsieur Dufisc verra-t-il son revenu après impôt diminuer?
Correction
Ex 3: Centre Etrangers Nov 95
On considère la suite ( U n ) définie
par : U 0 = e et, pour tout entier naturel n
, ![[Maple Math]](images/suites16.gif) .
On pose, pour tout entier naturel n , V n = ln (
U n ).
1.
a: Montrer que, pour
tout entier naturel n , ![[Maple Math]](images/suites17.gif) En déduire la nature de la suite ( V n ).
b: Donner l'expression
de V n en fonction de n . En déduire l'expression de U n
en fonction de n .
2. Pour tout entier naturel n, on pose
S n = V 0 +
V 1 + V 2 + ...+
V n et P n = U 0
.U 1 ....U n .
a: Montrer que ![[Maple Math]](images/suites18.gif) .
b: Exprimer Sn
en fonction de n .
c: En déduire l'expression de Pn en
fonction n .
3. Déterminer la limite de la suite ( Sn ). En déduire celle de la suite ( Pn )
Correction
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