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Barycentres 2006
Liban Juin

Liban Juin 2006

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on donne les points A (2 ; 1 ; 3), B(-3;-l;7) et C(3;2;4).

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique. $\{x= -7 + 2t\\y = -3t\\z = 4 + t\. \quad \quad t \in \mathbb{R}$

a) Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).

b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).

a) Montrer que H est le barycentre de (A ; -2 ), (B ; - 1) et (C ; 2).

b) Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_1$ , des points M de l'espace tels que $(-2\vec{MA} - \vec{MB} + 2\vec{MC}).(\vec{MB} - \vec{MC})$ .
En préciser les éléments caractéristiques.

c) Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_2$ des points M de l'espace tels que $||-2\vec{MA} - \vec{MB} + 2\vec{MC}|| = \sqrt{29}$ .
En préciser les éléments caractéristiques.

d) Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l'intersection des ensembles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ .

e) Le point S (- 8 ; 1 ; 3) appartient-il à l'intersection des ensembles 1 et 2 ?

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