Annales Olympiades Internationales
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IMO 1981

Exercice 1:

P est un point à l'intérieur du ABC de triangle. D, E, F sont les pieds des hauteurs issues de P respectivement sur les droites (BC), (CA) et (AB).

Déterminer tous les points P tel que : soit minimal.

Exercice 2:

Soit r un entier tel que 1 r n.
Soient tous les sous-ensembles ayant r éléments de l'ensemble { 1, 2..., n }.
Chacun de ces sous-ensemble a un plus petit élément.
Soit soit la moyenne arithmétique de ces plus petits éléments.

Montrer que : .

Exercice 3:

Déterminez la valeur maximale de m² + n², où m et n sont des nombres entiers appartenant à {1, 2..., 1981}
satisfaisant l'égalité (n² - nm - m²)² = 1.

Exercice 4:

(a) Pour entiers n > 2 existe-t-il un ensemble de nombres entiers positifs consécutifs de n tels que le plus grand nombre dans l'ensemble est un diviseur du plus petit multiple commun des (n-)restant?

(b) Pour quels entiers n > 2 y a-t-il exactement un ensemble ayant cette propriété?

Exercice 5:

Soit trois cercles de même rayon ayant un point commun O et qui sont tous trois intérieurs à un triangle ABC de telle sorte que chaque cercle est tangent à deux des côtés du triangle.

Montrez que le centre du centre inscrit, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et le point O sont alignés.

Correction

Exercice 6:

La fonction f(x,y) satisfait aux conditions suivantes: f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))
pour tout entiers posisitifs x, y.

Déterminer f(4, 1981).