Maths-Express/ | IMO / Olympiades Internationales IMO Sujet 1982

Annales Olympiades Internationales
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IMO 1982

La fonction f est définie sur les entiers positifs et prend ses valeurs sur .

f(2) = 0 , f(3) > 0 f(9999) = 3333 et pour tout entiers m et n 0 , f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 ou 1.

Déterminer f(1982).

A₁A₂A₃ est un triangle non-isocèle dont on note a_i le côté opposé à A_i.

M_i est le milieu du côté a_i et T_i est le point de contact entre entre le cercle inscrit au triangle et le côté a_i.

On appelle S_i le symétrique de T_i (...symétrie orthogonale) par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle en A_i.

Montrer que les droites (M₁S₁) , (M₂S₂) et (M₃S₃) sont concourantes.

(x_n) est une suite infinie de nombres réels positifs telle que x₀ = 1 and x₀ ≥ x₁ ≥ x₂ ≥ ... .

Montrer qu'il existe n ≥ 1 , tel que: $3$ \text \frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} \geq 3,999$
Déterminer une telle suite telle que $3$ \text \frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4 pour tout n$