Annales Olympiades Internationales
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IMO 2005

Exercice 1
Six points sont choisis sur les côtés d'un triangle équilatéral ABC:
A₁ , A₂ sur BC,
B₁ , B₂ sur CA,
C₁ , C₂ sur AB,
formant un hexagone convexe A₁A₂B₁B₂C₁C₂ ayant des côtés de même longueur.

Montrer que les droites (A₁B₂) , (B₁C₂) et (C₁A₂) sont concourrantes.

Exercice 2
On considère une suite a₁ a₂ a₃ ... d'entiers relatifs contenant une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs.
On suppose que pour tout entier naturel n, les restes de a₁ , a₂ , ... , a_n dans la division euclidienne par n sont distincts deux à deux.

Montrer que tout entier apparaît exactement une fois dans la suite (a_k).

Exercice 3
Soit x , y , z trois réels positifs tels que xyz > 1.

Montrer que
Correction

Exercice 4
Déterminer l'ensemble des entiers naturels p tels que p soit premier avec tous les termes de la suite a_n = 2ⁿ + 3ⁿ + 6ⁿ - 1.
Correction

Exercice 5
ABCD est un quadrilétère convexe fixé tel que BC = DA et (BC) non parallèle à (DA).
E et F sont deux points variables situés respectivement sur les côtés [BC] et [DA].
Les droites (AC) et (BD) se coupent en P , les droites (BD) et (EF) se coupent en Q, les droites (EF) et (AC) se coupent en R.

Montrer que le cercle circonscrit à PQR, quand E et F varient, ont un point commun autre que le point P.

Exercice 6
Dans une compétition mathématique dans laquelle 6 problèmes ont été posés aux participants, deux problèmes quelconques ont été résolus par plus des 2/5 concurrents.
De plus, aucun concurrent n'a résolu l'ensemble des 6 problèmes.

Montrez qu'il y a au moins 2 concurrents qui ont résolu exactement 5 problèmes chacun.