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Polynomes /
Cercles
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Dans le plan munui d'un répère orthonormé (O , i , j), le cercle C(I,R) de centre I et de rayon R est l'ensemble des points M tels que IM = R , ou encore , IM2 = R2.

Si les coordoonées de I sont (a ; b) et celles de M , (x ; y) , alors IM2 = (x-a)2 + (y-b)2.

Le cercle C(I,R) est donc l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) vérifiant la relation : (x-a)2 + (y-b)2 - R2 = 0

C'est l'équation cartésienne du cercle.

En développant cette équation, on obtient:

x2 + y2 + ax + by + a2 + b2 - R2 = 0

c'est à dire , la forme : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 , en posant a = 2A , b = 2B et C = a2 + b2 - R2.

Réciproquement, l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant l'équation x2 + y[e]2(/e] + 2Ax + 2By + C = 0 est:

  • Soit un cercle

  • Soit l'ensemble vide

Pour le voir, on met l'équation sous forme canonique:

\text x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = (x + A)^2 + (y + B)^2 - A^2 - B^2 + C

L'ensemble cherché vérifie donc l'équation : \text (x + A)^2 + (y + B)^2 = A^2 + B^2 - C.

  • Si A2 + B2 - C 0 , c'est le cercle de centre I(-A ; -B) et de rayon \text R = \sqrt{A^2 + B^2 - C}

  • Si A2 + B2 - C < 0 , c'est l'ensemble vide

Exemples

  • \text x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = (x+2)^2 + (y-1)^2 - 2^2 - 1^2 + 1 = (x-2)^2 + (y-1)^2 -4
    C'est donc le cercle de centre I(-2 ; 1 ) et de rayon R = 2.

  • \text x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = (x+2)^2 + (y-1)^2 - 2^2 - 1^1 + 10 = (x+2)^2 + (y-1)^2 + 5
    C'est donc l'ensemble vide.