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Polynomes /
Second degré
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Fonction Polynôme de degré 2:

f est une fonction polynôme réelle de degré 2 Il existe a , b et c réels tels que a 0 et x , f(x) = ax2 + bx + c.
On dit que f est un trinôme.
a est le coefficient en x2.
b est le coefficent en x.
c est le coefficient constant.

Forme canonique :

Si a 0 alors x ,
\text \fbox{ax^2 +bx + c = a\(\(x + \frac{b}{2a}\)^2 - \frac{\triangle}{4a^2}\) avec \triangle = b^2 - 4ac}
\triangle est le discriminant de f.

Racines réelles de f

Si \triangle \geq 0 , alors il existe tel que D = 2.....Par exemple, on peut choisir \delta = \sqrt{\triangle}

Dans ce cas, on a: \text \forall x \in \mathbb{R} , ax^2 + bx + c = a\(\(x + \frac{b}{2a}\)\)^2 - \(\frac{\delta}{2a}\)^2\).
D'où la factorisation :

\red \text \fbox{ax^2 + bx + c = a\(x + \frac{b + \delta}{2a}\)\(x + \frac{b - \delta}{2a}\)}

En prenant simplement \text \delta = \sqrt{\triangle} , on a alors:

\red \text \fbox{ax^2 + bx + c = a\(x + \frac{b + \sqrt{\triangle}}{2a}\)\(x + \frac{b - \sqrt{\triangle}}{2a}\)}

Dans ce cas, la fonction polynôme (f(x) = ax2 + bx + c ) a deux racines réelles qui sont:

\red \text \fbox{x_1 = \frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a} et x_2 = \frac{-x + \sqrt{\triangle}}{2a}}

Dans le cas où \triangle = 0, alors \text x_1 = x_2. On dit que f a une récine double.

Signe de ax2 + bx + c: Signe du trinôme
(ax2 + bx + c) est du signe de a, SAUF entre ses racines.

Relation Coefficients-Racines::
x1 et x2 sont les racines de ax2 + bx + c si et seulement si

\red \text \fbox{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} et x_1x_2 = \frac{c}{a}}

Si \triangle < 0 alors pour tout x réel , \text \fbox{ax^2 +bx + c = a\(\(x + \frac{b}{2a}\)^2 - \frac{\triangle}{4a^2}\) \neq 0 }
et cette expression est constamment du signe de a.

Conclusion : Racines et Signe du Trinômes

  • Pour a 0 , l'expression ax2 + bx + c admet pour discriminant : \text \triangle = b^2 - 4ac

  • Si \triangle > 0 , alors ax2 + bx + c a deux racines réelles distinctes: \text x_1 = \frac{-b - \sqrt{\triangle}}{2a} et x_2 = \frac{-b + \sqrt{\triangle}}{2a}
    De plus , pour tout x réel \text ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

  • Si \triangle = 0 alors \text ax^2 + bx + c a une unique racine réelle ou racine double: x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}.
    De plus , pour tout x réel , \text ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2

  • Si \triangle < 0 alors \text ax^2 + bx + c n'a aucune racine réelle.
    De plus, pour tout réel x , \text ax^2 + bx + c = a\((x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{\triangle}{4a}\)

  • Signe du Trinôme
    Pour tout x réel , \text ax^2 + bx + c est du signe de a , SAUF entre ses éventuelles racines.

Relation Coefficients-Racines

Si a 0, alors x1 et x2 vérifient \text x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} et \text x_1x_2 = \frac{c}{a} si et seulement si x1 et x2 sont les racines de ax2 + bx + c.

Pous a = 1, on a alors :
x1 et x2 vérifient x1 + x2 = S et x1x2 = P si et seulement si x1 et x2 sont les racines de x2 - Sx + P.