Les trois Exercices communs des Olympiades 2001

Exercice I Voir la Correction
Les faces d'un dé en forme de tétraèdre régulier sont numérotées de 1 à 4.
Le dé est posé sur une table, face « 1 » contre cette table.
Une étape consiste à faire basculer le dé autour de l'une quelconque des arêtes de sa base .
A l'issue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table.
On fait la somme, S, de tous ces nombres après 2001 étapes, en comptant aussi le « 1 » initial.

1)  Donner la valeur maximale et la valeur minimale que l'on peut ainsi obtenir pour S.

2)  La somme S peut-elle prendre toutes les valeurs entières entre ces deux valeurs ?

Exercice II Voir la Correction
Sur un terrain de jeu sont alignés quatre poteaux, plantés en A, B, C et D dans cet ordre.
Ces poteaux délimitent trois buts de largeurs : AB = 1, BC = 2, CD = d, où d est une longueur donnée.
Déterminer l'ensemble des points M du terrain d'où l'on voit les trois buts sous des angles AMB, BMC et CMD égaux.

Exercice III
Dessinez un cube C (un dessin même approximatif en perspective suffira).
Soit A un de ses sommets et B le sommet opposé, c'est à dire le point tel que le milieu du segment [AB] soit le centre du cube.
Considérons un autre cube C' admettant aussi (A, B) comme couple de sommets opposés.
Certaines arêtes de C rencontrent des arêtes de C'. Justifiez le fait que, en dehors de A et B, on obtient ainsi six points d'intersection entre une arête de C et une arête de C'.
Placez l'un d'eux sur le dessin et expliquez comment placer alors les cinq autres.
V étant le volume de C, quelle est la valeur minimale du volume de la portion d'espace commune aux cubes C et C'?

Les Exercices Spécifiques par Académie

Bordeaux  Voir la Correction
Un jeu se déroule avec trois joueurs.
À chaque partie, chaque joueur gagne une somme fixée selon son classement à la partie.
Ces sommes sont des entiers non nuls distincts deux à deux .
Sachant que ces trois joueurs ont gagné respectivement 20F, 10F et 9F à l'issue du jeu, déterminer le nombre de
parties jouées et les sommes attribuées suivant le classement.

Caen
Un sondage paru dans la presse décrit la population des lecteurs d'un fameux journal du soir en donnant les renseignements suivants donnant le sexe, l'état-civil et la profession des lecteurs :

• 31,2% sont des hommes,
• 47% sont mariés,
• 52,5% sont des étudiants,
• 4,2% sont des étudiants masculins,
• 14,7% sont des étudiants mariés,
• 8,6% sont des hommes mariés,
• 2,5% sont des étudiants masculins mariés.

Les résultats de ce sondage sont incohérents. Pourquoi ? 

Clermont Ferrand   Voir la Correction
" Ensorceler " un nombre, c'est calculer le quotient de la différence du triple de ce nombre et de 5 par la somme de ce nombre et de 1.
Pour gagner le tournoi des trois sorciers, Harry Potter doit résoudre l'énigme suivante
                                  Qu'advient-il d'un nombre ensorcelé 2000 fois?
1. Sans baguette magique, pouvez-vous répondre à cette question? Justifier votre réponse.
2. Harry Potter affirme que certains nombres refusent de se laisser ensorceler une fois, deux fois, plusieurs fois !
   A t-il raison ? Si oui, quels sont-ils, si non, pourquoi ?

Créteil
Quelles sont les solutions de cette équation ? Expliquez.

Dijon:  Voir la Correction
1: On dispose de trois pièces homogénes, de même épaisseur et de même ryaon r = 1cm.
     On empile ces pièces sur une table conformément au dessin ci-dessous.
 
    Montrer que le système est en équilibre, c'est à dire que le centre d'inertie du solide constitué des trois pièces
    est situé à la verticale du bord de la table. (On pourra munir la droite D d'un repère adapté).
2: On généralise à n pièces le précédent empilement.
    a) Montrer que le centre d'inertie du solide constitué des n pièces est encore à la verticale du bord de la table.
     b) On appelle d_n la longueur du surplomb. Montrer que d_2n - d_n > 0,5.
    c) Peut-on choisir n de telle manière que le surplomb soit aussi long que l'on veut?

Grenoble
Une lampe entourée d'un abat-jour est suspendue entre deux murs distants de 8 mètres à une rampe.
La situation est représentée par le schéma ci-dessous.
 
Les murs ont pour équations x = 0 , x = 8 et la rampe a pour équation:  .
L'abat-jour est symbolisé par un triangle rectangle isocèle UMJ de côtés 1 et .
1: Vérifier que les bords de l'abat-jour ne touchent ni la rampe ni les murs lorsque 1 < x < 7.
2: Calculer l'aire du polygone éclairé OBMCD correspondant à x = 3.
3: Trouver la position de la lampe sur la rampe qui donne un éclairage maximal.

Lille  Voir la Correction
 Soit P le polynôme de degré 2000 tel que pour tout entier n, 0 < n < 2000, on ait :
                                              
Calculer P(2001).
On pourra utiliser le polynôme Q défini par Q(x) = (x + 1)P(x) - x.

Martinique  Voir la Correction
2 polygones réguliers, l'un de 2000 côtés, l'autre de 2001 cotés sont inscrits dans un cercle.

Montrer qu'il existe 2 sommets, un de chaque polygone, tels que l'angle au centre qu'ils définissent soit inférieur
ou égal à :   .

Montpellier: Attention Ce sujet n'est que celui des Olympiades IMO 1983 Exercice 1: Voir la correction
Déterminez toutes les fonctions f de l'ensemble des réels strictements positifs dans lui-même, qui vérifient les conditions suivantes:
1) pour tous réels stritement positifs x , y : f(xf(y)) = yf(x);
2) f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers + oo .
 On déterminera progressivement des propriétés de f   permettant de trouver toutes les solutions.

Nice  Voir la Correction
:Déterminer toutes les fonctions f : IN -> IN telles que
 f ( m + n ) = f ( f ( m ) ) + f ( f ( n ) )  pour tous les entiers naturels m,n.

Paris
Le rayon d'action (la distance maximale pouvant être parcourue sans ravitaillement) d'un avion est R.
Des avions identiques peuvent échanger du carburant en vol, un avion au réservoir vide peut se poser en vol plané.

On considère que la consommation est proportionnelle à la distance parcourue.

Quelle est, en fonction de R, la distance maximale D que peut parcourir un avion si au départ décollent 7 avions identiques aux réservoirs pleins ?

Poitier
Montrer que l'équation  n'admet pas de solution (x , y , z)  constituée d'entiers strictement positifs où x > 4.
Trouver tous les triplets d'entiers strictements positifs qui sont solutions.

Strasbourg Voir la Correction
Un disque de rayon est découpé comme l'indique la figure suivante:
On donne AB = 6 cm , BC = 2 cm et l'angle ABC est droit.
Question:
Calculer le carré de la distance de B au centre du disque. 

Toulouse   Voir la Correction
n désigne un entier naturel non nul. Soit l'équation (E_n) : x + x² + ... + x ⁿ = 1.

Versailles Voir la Correction
Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1. Démontrer que l'équation xⁿ + x² + x - 1 = 0  admet une solution positive, que l'on notera u_n .
2. Montrer que, pour tout n élément de IN* , on a : 0 < u_n < a , où a est la solution positive de l'équation:x² + x - 1 = 0.
3. Montrer que, pour tout n élément de IN* , on a : .
4. Montrer que la suite  (u_n) converge et préciser sa limite.
5. Montrer que la suite (u_n) est croissante.