|
Correction de l'Exercice BORDEAUX 2001
Appelons
A , B et C les 3 joueurs, N le nombre de parties jouées ,
x , y et z les gains en points pour le premier, le second et le
troisième à chaque partie. D'après les hypothèses
de l'énoncé, on peut donc supposer que x > y >
z avec x , y et z entiers positifs non nuls.
Pour le joueur
A, considérons le triplet (A1 , A2 , A3) correspondant au
fait que A a gagné A1 fois x francs, a gagné A2 fois
y francs et A3 fois z francs.
Même chose pour les joueurs
B et C. (B1 , B2 , B3) , (C1 , C2 , C3).
Rien n'empêche
de dire que A a gagné 20 francs, B a gagné 10 francs
et C a gagné 9 francs.
On a donc les relations:
xA1
+ yA2 + zA3 = 20
xB1
+ yB2 + zB3 = 10 (système
1)
xC1
+ yC2 + zC3 = 9
Lors d'une partie, chaque joueur a été
classé du premier au troisième. On a a donc aussi
les relations:
A1
+ B1 + C1 = A2 + B2 + C2 = A3 + B3 + C3 = N = nombre de parties.
et
A1
+ A2 + A3 = B1 + B2 + B3 = C1 + C2 + C3 = N .
Remarquons
que cela signifie que la somme des coefficients du système
(1), que ce soit en ligne ou en colonne est N.
|
A1 +
B1 + C1
|
=N
|
|
A2 +
B2 + C2
|
=N
|
|
A3 +
B3 + C3
|
=N
|
|
=N
|
=N
|
=N
|
|
En effectuant la somme de toutes les lignes dans le syst-me
(1) , on a alors:
x(A1+B1+C1)
+ y(A2+B2+C2) + z(A3+B3+C3) = 39 ou encore N(x+y+z)
= 39.
Comme N et (x+y+z) sont des entiers >0 , et que les
seuls diviseurs de 39 sont : 1 , 3 , 13 et 39, on en déduit
qu'il n'y a que 4 cas à étudier:
- N = 1 et (x+y+z) =39
- N = 3 et (x+y+z) = 13
- N = 13 et (x+y+z) = 3
- N = 39 et (x+y+z) = 1
Les deux derniers cas sont impossibles car on a x > y >
z > 0 et x , y , z entiers.
Pour N = 1 et (x+y+z) = 39, il n'y a qu'une seule partie de jouer
et le résulat a été
A
= premier , B = second ,
C = troisième avec x = 20 , y = 10 et z = 9.
Pour N = 3 et (x+y+z) = 13, on remarque que la troisième
ligne du système (1) implique que au moins une des valeurs
C1 , C2 et C3 est nulle, ainsi qu'au moins une des valeurs B1 ,
B2 et B3.
Comme la somme des coefficients en colonne doit être N
= 3 , on voit alors que le nombre de cas à traiter est assez
restreints.
Par exemple , pour C3 = 0 , on a comme tableaux possibles
pour les coefficients du sysyème (1)
|
1 +
0 + 2
|
=3
|
ou
|
|
2 +
0 + 1
|
=3
|
|
0 +
1 + 2
|
=3
|
|
1 +
2 +
0
|
=3
|
|
=3 =3
=3
|
|
|
|
0 +
2 + 1 |
=3
|
|
2 +
1 + 0
|
=3
|
|
=3 =3
=3
|
|
On écrit les systèmes (1) correspondants
en tenant compte que les solutions cherchées sont des entiers
> 0.
Le seul cas donnant des solutions entières x > y >
z > 0 est alors:
A1 = 2 ; A2 = 1 , A3 = 0 ,
B1 = 1 ,
B2 = 0 , B2 = 2 ,
C1 = 0 , C2 = 2 , C1 = 0 et
les solutions sont: x
= 8 , y = 4 et
z = 1.
Il y a donc 3 parties de jouées,
avec des gains de 8 francs , 4 francs et 1 francs.
L'autre solution étant: Une partie jouée avec des
gains de 20 francs , 10 francs et 9 francs.
|