Exercices des Olympiades Académiques 2001

On munit la droite D du repère de centre (O ; u) , O étant le bord de la table est u dirigé vers la table.
Pour simplifier, on assimile les centres d'inerties des pièces à leur projeté orthogonal sur la droite D.
Les pièces seront numérotées de 1 à n, la pièce "1" étant la première posée sur la table, la pièce "n" étant la dernière posèe. La pièce numérotée k a alors un centre d'inertie noté dont le projeté sur D est noté G_k ,
point entièrement déterminé par son abscisse x_k sur la droite D.
On remarque alors que l'ensemble du problème revient à savoir si l'isobarycentre des points G_k correspond bien au point O.
Or , pour n = 3, on a:

La somme des abscisses de ces 3 points est bien nulle. Leur isobarycentre est bien O.
Le centre d'inertie du système formé par les 3 pièces est bien à la verticale de la table.

a) Pour n pièces:
    C'est le même principe, toutjours en appelant G₁ , G₂ , G₃, .... ,G_n les projetés des centres d'inertie
    sur la droite D.

On remarque alors que la somme des abscisses des points G_kest bien nulle donc que l'isobarycentre des points G_k est bien le point O, donc que le centre d'inertie du système formé par les n pièces est bien à la verticale de la table.

b) Le surplomb d_n est :

En particulier, on a:

  c) La suite (d_n) est bien sur croissante.
     Si cette suite était majorée par un réel M, alors elle serait convergente.
     La suite (d₂_n - d_n) devrait alors converger vers 0.
     L'inégalité précédente montre que cela est impossible.
     La suite (d_n) est donc non-majorée.
     On peut donc choisir n de telle manière que le surplomb soit aussi long que l'on veut.

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