Lille Correction des Olympiades Mathématiques 2001
Attention: On
note n! le produit des entiers de 1 à n. n! =
1*2*3*....*n
Si P est le polynôme de degré
2000 tel que pour tout n compris entre 0 et 2000, 
(Relation a),
alors le polynôme
Q défini par: "Q(x) = (x+1)P(x) - x " est un polynôme
de degré 2001.
Or , pour tout n appartenant à {0
; 1 ; 2 ; .... ; 2000} , on a : Q(n) = (n+1)P(n) - n.
D'après
la relation (a), on en déduit que Q(n) = 0 pour tout n appartenant
à {0 ; 1 ; 2 ; .... 2000}.
Q admet donc 2001 racines distinctes
dans R et il est de degré 2001, donc il existe donc
un réel k tel que:
"Pour tout x réel, Q(x) = k(x)(x - 1)(x - 2)(x - 3).....(x - 2000) "
Or,
pour x = -1 , on obtient: Q(-1) = k(-1)(-2)(-3)......(-2001)
= -kx2001!
En utilisant maintenant la definition de Q à
l'aide du polynôme P, on a aussi: Q(-1) = 1.
Donc,
on obtient : 
.
L'expression
de Q(x) est donc: 
En particulier, pour n = 2001, on a:
Comme
Q(2001) = 2002xP(2001)-2001 , on a:
