MartiniqueCorrection des Olympiades Mathématiques 2001
Rappel
du sujet:
2 polygones réguliers, l'un de 2000 côtés, l'autre de 2001 cotés sont
inscrits dans un cercle.
Montrer qu'il existe 2 sommets, un de chaque polygone, tels que l'angle au
centre qu'ils
définissent soit inférieur ou égal à :
.
On choisit comme unité d'angle
sur le cercle 
et comme origine l'un des sommets
du polygone de 2000 sommets.
Les sommets du polygone à 2000 sommets sont
les points 4002xa, avec a entier relatif.
Les sommets du polygone à 2001 sommets
sont les points d + 4000xb, avec b entier relatif et d réel.
L'angle entre
le sommet du premier polygone obtenu pour a = n et celui du deuxième polygone
obtenu pour b=n,
où n est entier relatif, est d-2xn.
Or le réel d est compris entre
deux entiers consécutifs, e et e+1, dont l'un est pair.
Si l'on choisit n tel
que 2xn soit cet entier pair, alors
|d-2xn|est <
1, ce que l'on
voulait montrer.
Solution de daniel.dubuisson@wanadoo.fr