Montpellier Correction des Olympiades Mathématiques 2001
On note Id l'application identité sur les réels strictement positif. (Id(x) = x)
La première condition permet d'écrire, en composant par f, que pour
x
et
y > 0
, on a :
f(f(xf(y)))
= f(yf(x))) = xf(y)
En prenant y = 1
, on obtient alors que pour tout
x>0
,f(f(xf(1))) = xf(1).
Comme f(1) est >0, on a donc : fof = Id .
D'où, toujours en utilisant la première condition, f(xf(f(y)))
= f(y)f(x) et f(f(y)) = y .
et donc
f(xy) = f(x)f(y)
pour tous
x , y
>0 (relation 1)
On vérifie sans problème que toute application vérifiant (1) vérifie aussi la première condition.
On remarque alors que f(1)=1. (prendre x = y = 1 dans (1)), que
f(xn)=f(x)n
pour
n
entier relatif
(prendre d'abord le cas
n
entier >0 et faire une récurrence puis utiliser
![[Maple Math]](olymp8314.gif)
dans la relation (1))
De plus, toujours en utisant la première condition , en prenant
x = y
, on obtient :
f(xf(x)) = xf(x)
.
C'est à dire que pour tout
x
>0,
xf(x)
est un point fixe de f.
Or, pour
x
>1 , la limite de
f(xn)=f(x)n est nul si
n
tend vers +oo
.
Donc on a pour tout
x>0
,
f(x)
strictement compris entre 0 et 1.
De même, on vérifie que pour tout x compris strictement entre 0 et 1, on a 1 < f(x) .
Donc, pour tout
x
>0 et différent de 1, on a
![[Maple Math]](olymp8322.gif){kind=small}
et donc le seul point fixe de f est 1.
Comme pour tout
x
>0,
xf(x)
est un point fixe de f, on en déduit que
xf(x) = 1
,
ou encore
![[Maple Math]](olymp8325.gif)
pour tout
x
>0.
Conclusion:
La seule application répondant à la question est f définie par : pour tout
x
>0 ,
![[Maple Math]](olymp8326.gif)
.