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Nice Correction des Olympiades Mathématiques 2001

Etude de f de N vers N vérifiant : f(n+m) = f(f(n)) + f(f(m))   (Relation 1)

Si f vérifie la relation (1), en particulier, pour n quelconque et m = 0 , on a:  f(n) = f(f(n)) + f(f(0))
Pour n quelconque et m = 1 , on a : f(n+1) = f(f(n)) + f(f(1)).
En effectuant la différence, on obtient:

"Pour tout n entier naturel, f(n+1) - f(n) = f(f(1)) - f(f(0)) "

La suite (f(n))  est donc une suite arithmétique de raison A = f(f(1)) - f(f(0)).
L'expression de f(n) en fonction de n est alors : " f(n) = An + B"  , où B = f(0) , et A entier naturel.
(A est un entier. S'il était négatif, alors pour n assez grand , f(n) serait aussi négatif donc non-élément de N)

La relations (1) s'écrit alors:

"Pour tout couple (n , m) de N, A(n+m) + B = [A(An+B) + B] + [A(Am+B) + B]"

ce qui donne :   A(n+m)+B = A²(n+m) + (2AB + 2B)

En prenant m = 0, on en déduit que les suites arithmétiques (An+B) et (A²n + 2AB+2B) sont identiques.
On a alors les relations  :"A = A²  et   B = 2AB + 2B".

"A = A²" implique "A=0" ou "A=1"
"B = 2AB + 2B" implique "B=0"

On voit alors qu'il existe exactement deux suites possibles vérifiant (1)

"f(n) = 0 , la suite nulle"   ou   "f(n) = n ,  la fonction Identité sur IN"

On vérifie bien sur, que ces 2 suites sont solutions.

Conclusion:
Les seules fonctions solutions sont:
                   "f(n) = 0 , pour tout n entier naturel"   et  "f(n) = n , pour tout n entier naturel"