Strasbourg Correction des Olympiades Mathématiques 2001
On peut traiter simplement cet exercice en utlisant
un répère bien choisi et en passant par les coordonnées
du point B.
Prenons le repère 
où O est le centre du cercle, les vecteurs 
choisis
de sorte que:
Appelons
(a ; b) les coordonnées de B dans ce repère.
Les coordonnées des points A et C sont alors:
A(a
; b+6) et C(a+2 ; b)
Les
points A et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 
donc,
a²
+ (b+6)²= 50 et
(a+2)² + b² =
50 d'où
a²
+ b² + 12b = 14 et a²
+ b² + 4a = 46
La comparaison
de ces 2 égalités donne : a = 3b
+ 8.
On remplace alors a par (3b+8) dans une des 2 égalités
et on obtient une équation du second degré dont b
est une racine.
Un simple calcul fournit alors b = -1
ou b = -5.
B peut avoir comme coordonnées
(5 ; -1) ou (-7 ; -5).
On a alors OB² = 26 ou 74.
D'après
la figure, B est à l'intérieur du cercle, donc : OB²
= 26