Exercice 1:
1) La somme minimale est obtenue par : 1 + (2 + 1) + (2 + 1) + . + (2 + 1) + 2
avec 1000 termes entre parenthèses, donc S_min = 1 + 3x1000 + 2 = 3003.

La somme maximale est obtenue par : 1 + (4 + 3) + (4 + 3) + . + (4 + 3) + 4
avec 1000 termes entre parenthèses, donc S_max = 1 + 7x1000 + 4 = 7005.

2) On peut obtenir tous les entiers entre 3003 et 7005. Pour le voir, on part de la somme minimale:
     1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + .... + 1 + 2 = 3003 puis on remplace le premier "2" par un "3"
     1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + .... + 1 + 2 = 3004 puis on remplace le premier "2" par un "3"
     1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 2 + .... + 1 + 2 = 3005 ainsi de suite , jusqu'à la somme:
     1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + .... + 1 + 3 = 4004. On a donc tous les entiers compris entre 3003 et 4004.
Ensuite, on remplace dans cette dernière somme le premier "3" par un "4".
     1 + 4 + 1 + 3 +1 + 3 + ............+ 1 + 3 = 4005 , puis on remplace le premier "3" par un "4"
     1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 3 + ...........+ 1 + 3 = 4006 , ainsi jusqu'à remplacer le dernier "3" par un "4".
     1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + ...........+ 1 + 4 = 5005. On a donc tous les entiers de 4005 à 5005.
Maintenant, en partant de cette dernière, on remplace le premier "1" par "2".
     1 + 4 + 2 + 4 + 1 + 4 + ............+ 1 + 4 = 5006 , puis on remplace le premier "1" par un "2".
     1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + ............+ 1 + 4 = 5007 , et on conduit ainsi jusqu'au dernier "1"
     1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + ...... .....+ 2 + 4 = 6006. On a donc tous les entiers de 5006 à 6006.
Il ne reste plus qu'à appliquer ce même procédé de remplacement des "2" par des "3".
     1 + 4 + 3 + 4 + 2 + 4 + ............+ 2 + 4 = 6007
     1 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + ............+ 2 + 4 = 6008 jusqu'à
     1 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + ........... + 3 + 4 = 7005.
En conclusion, on obtient tous les entiers de 3003 à 7005.

Exercice 2:
Remarquons que si M est sur la droite (AB) alors la seule position possible de M est d'être à l'extérieure du segment [AD].
On se place alors dans le cas où M n'est pas sur (AB). Supposons que M vérifie la relation demandée.

Le point H est le projeté orthogonal de M sur (AB) et h=MH.
a est la mesure commune des angles (AMB) , (BMC) et (CMD) D'après les hypothèses sur A, B et C on a:
MC = 2MA et  2MD = dMB. Cela peut se voir en considérant l'aire des triangles AMB , BMC et CMD.
En passant alors par les vecteurs et le produit scalaire, on a:
(relations 1)
Faisons alors intervenir les points G₁,G₂, G₃ et G₄ désignant les barycentres respectifs des systèmes
{A(2) , C(-1)}  , {A(2) , C(1)} , {D(2) , B(d)}  et {D(2) , B(-d)}. Ceci suppose que d est distinct de 2.
On vérifie sans peine que G₁ = B.
Les relations précédentes conduisent à : .
C'est à dire que M appartient aux deux cercles de diamètres respectifs [G₁G₂] et [G₃G₄].
Une méthode alors assez simple pour voir ce qu'il passe, est de passer directement aux coordonnées des points dans un répère bien "choisi". On munit donc la droite (AB) du repère de centre A tel que B est pour abscisse 1. On voir alors que C(3) et D(3+d).
De plus, un simple calcul montre que:  
Comme G₃ est sur [BD] et G₄ avant B , et que de plus G₁ = B, on peut dire que les deux cercles ont un point en commun si et seulement si G₄ est sur [BG₂].
Ceci conduit alors à l'équation :   qui donne comme solution : d > 6.
Le cas d = 6 correspond au cas où les deux cercles sont tangents en G₂.

Pour d = 2, les relations MC = 2MA et 2MD = dMB donne que M doit être sur le cercle de diamètre [G₁G₂] et sur la médiatrice de [BD]. Comme B = G₁ , et vue la position des points, cela est impossible.