Toulouse Correction des Olympiades Mathématiques 2001
Etude de la solution positive de l'équation
(En) : xn + xn-1
+ ... + x = 1
où n
est un entier naturel non nul.
- On pose fn(x) = xn + xn-1
+ ... + x - 1 , x dans I = [0 ; +oo[.
Cette fonction est strictement croissante sur I comme somme de fonctions strictement croissantes.
De plus, elle est continue et
.
L'image de I par fn est donc l'intervalle J = [-1 ; +oo[ et f est une bijection de I sur J.
En particulier, comme 0 appartient à J, on en déduit l'existence et l'unicité de la solution rn .
De plus, comme fn(1) est > 0 , on en déduit que pour n > 0 , 0 < rn < 1.
Comme fn est strictement croissante sur [0;+oo[, on a aussi:
"Pour tout x > 0 , fn(x) > 0 Û x > rn " - Avant de répondre aux questions suivantes, remarquons
que pour tout x > 0 , on a:
fn(x)(x-1) = (xn+1 + xn + .... + x2 - x) - (xn + xn-1 + .... + x - 1)
= xn+1 - 2x + 1. (égalité 1)
Sur l'intervalle [0;1] , xn+1 - 2x + 1 est donc du signe contraire de fn(x).
Peut-on avoir rn < 0,5 ?
D'après l'égalité (1) , on a : fn(0,5) = -2(0,5)n+1 < 0.
On en déduit que pour tout n , rn est > 0,5, la réponse est donc NON.
Peut-on avoir rn< 0,51 ?
D'après l'égalité (1), on a : -0,49fn(0,51) = (0,51)n+1 - 0,02
On sait que si n tend vers +oo alors (0,51)n+1 tend vers 0 en décroissant.
Donc, à partir d'une certaine valeur N, si n est > N alors (0,51)n+1 - 0,02 est < 0 et donc fn(0,51) > 0.
Il existe donc bien un entier naturel n tel que rn soit < 0,51.
Un simple calcul "machine" montre d'ailleurs que (0,51)4 - 0,02 est > 0 et (0,51)5 - 0,02 est < 0.
On peut donc dire que rn est < 0,51 pour n > 4.
Peut-on avoir rn < 0,5 + 10-20 ?
C'est le même principe que pour la question précédente.
On peut prolonger cette exercice par l'étude du petit problème suivant!
- Le but du problème est l'étude de l'existence de
solutions réelles de l'équation
(En)"xn + xn-1 + .... + x2 + x - 1 =0" , n étant un entier > 0 et
de la limite des solutions si n tend vers +oo.
- Partie A:
On pose fn(x) = xn + xn-1 + .... + x2 + x - 1 pour x réel.
1: a: Etudiez les variations de fn sur [0 ; +oo[.
Montrez que l'équation (En) admet une solution unique sur [0;+oo[ .On note (xn) cette solution
b: Quelle est la valeur de x2 ?
2: a: Montrez que la suite (xn) est strictement décroissante et minorée par 0,5 .
b: Que peut-on en déduire pour cette suite?
3: a: Montrez que pour tout n > 1 , on a : xnn+1 = 2xn -1.
b: Déterminez la limite de (xnn+1) si n tend vers +oo.
c: Déterminez alors la limite de ( xn ) .
- Partie B: On étudie maintenant (En)
sur ]-oo;0].
1: a: Montrez que l'équation (En) peut s'écrire : xn+1 - 2x +1 =0 ,
b: En étudiant les variations de la fonction gn(x) = xn+1 - 2x +1 sur ]-oo;0], montrez que
(En) admet une solution que l'on notera (yn) sur ]-oo;0] ou non suivant la parité de n.
c: Montrez que dans le cas où (En) admet une solution dans ]-oo;0] , on a : -2 < yn < -1.
2: Le résultat de la question précédente montre de (En) admet une solution sur ]-oo;0]
si et seulement si n est pair.
On pose alors n = 2p, la suite (yn) étant alors notée (y2p).
a: Etudiez la monotonie de la suite (y2p).
b: Montrez alors que cette suite est converge vers un réel L.
c: Comparez L et -1.
3: On suppose que L est distinct de -1.
a: Que peut-on alors dire de la limite de (y2p2p+1) si p tend vers +oo?
b: Que peut-on en déduire d'après le résultat de la question 1:a: ?