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Versailles Correction des Olympiades Mathématiques 2001

 Etude de la solution positive de l'équation : xn + x2 +x - 1 = 0  où n est un entier naturel non nul.

  1. Posons, pour x réel , fn(x) = xn + x2 +x - 1.  Cette fonction est une simple fonction polynôme de degré n .
    Sa dérivée est : fn'(x) = nxn-1 + 2x + 1.  
    Comme fn'(x) est > 0 sur [0;+oo[, fn est donc sctrictement croissante sur IR. Or , fn(0) = -1 et  fn(1) = 2 .
    D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire qu'il existe un réel unique strictement positif vérifiant l'équation "fn(x) = 0" et même que cette solution est strictement comprise entre 0 et 1.
    On  note un cette solution > 0.
     
  2. On sait que fn est strictement croissante sur [0 ; +oo[. Comme fn(un) = 0 , et que un est dans [0 ; +oo[,
    on en déduit que pour tout x dans [0 ; +oo[ ,on a:
                    "fn(x) > 0  si et seulement si x > un"        et         "fn(x) < 0 si et seulement si x < un "
    Si on considère maintenant l'équation "x²  + x + 1 = 0", on voit qu'elle admet des solutions qui sont:
                                     
    a est dans [0 ; +oo[  et  fn(a) = an + a² + a - 1  .
     Comme a² + a - 1 = 0 , on en déduit que fn(a) = an.
    On a donc fn(a) > 0. D'après la remarque précédente, on peut dire que a > un .
    On a bien  0 < un < a .

  3. L'équation du second degré "x² + x - 1 = 0" admet deux racines dont le produit est -1.
    Comme une des racines est a , on en déduit que l'autre racine b vérifie : .
    Or, pour tout x réel, on a: x² + x - 1 = (x - a)(x - b)  donc  
                                             
    En particulier, on a pour tout x réel :
                                             
    Comme fn(un) = 0 , on a bien :   

  4. Comme 0 < a < 1 et que 0 < un < a , on a :
    On en déduit, d'après l'égalité obtenue dans la question 3: que
    Or , 0 < un < a < 1 donc   .
    Donc,  
    Cette inégalité et la limite précédente montrent alors que |un - a| converge vers 0.
    D'où la suite (un) converge vers a .

  5. Par définition de la suite (un) , on a : (un+1)n+1 + (un+1)² + un+1 -1 = 0.
    Comme on a vu que pour tout n entier > 0 , 0 < un+1 < 1 , on en déduit que:
                                         (un+1)n+1 < (un+1)n
    On a donc, (un+1)n + (un+1)² + un+1 -1 > 0.  (e)
    Or , on a vu dans la question 2: que la fonction fn vérifie sur [0 ; +oo[:
                         "fn(x) > 0  si et seulement si x > un"        et         "fn(x) < 0 si et seulement si x < un "
    Comme (e) ne signifie rien d'autre que fn(un+1) > 0, on a bien un+1 > un.
    La suite (un) est bien strictement croissante.