Les trois Exercices communs des Olympiades 2002

1. Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.
   La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.
   Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?
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2. 10 personnes sont assises autour d'une table ronde.
   10 jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes.
   Chaque personne gagne une somme égale en euros au total du numéro de son propre jeton, de celui de son voisin de gauche et de celui de son voisin de droite.
   1) À l'aide d'un procédé aléatoire de votre choix, donner un exemple de répartition des jetons. Sur cet exemple, indiquer le gain de chaque personne et la moyenne de ces dix gains.
   2) Prouver que, quelle que soit la répartition des jetons, au moins une des dix personnes aura un gain supérieur ou égal à 17 euros.
   3) Donner un exemple où tous les gains sont inférieurs ou égaux à 18 euros.
   4) Dans la deuxième question, peut-on remplacer 17 par 18 ?
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3. On dispose :
   * d'un damier carré formé de 10x10 petits carrés identiques ;
   * d'une pièce d'un seul tenant obtenue en accolant successivement par au moins
       un côté 9 petits carrés identiques à ceux du damier.
   Le problème consiste à poser plusieurs exemplaires identiques de cette pièce sur le damier en respectant les règles suivantes :
   * chaque exemplaire peut être tourné ou retourne ;
   * chaque petit carré constituant les exemplaires recouvre exactement un petit carré du damier ;
   * deux exemplaires ne peuvent pas se chevaucher.
   1) Dessiner l'une des solutions si on pose quatre exemplaires de la pièce représentée ci-dessous :                                       
                                 
   2) Montrer que, quelle que soit la forme de la pièce de départ, il est possible de poser deux exemplaires de cette pièce en respectant les règles ci-dessus.
   3) Peut-on dans la question précédente remplacer deux par trois, par quatre, par cinq, etc. ?

Les Exercices Académiques

BORDEAUX
Les abeilles ont à déposer leur miel dans des alvéoles disposées sur une surface plane donnée.
Elles vont paver cette surface au moyen de polygones réguliers juxtaposés, tous identiques.
a) Quelles sont les trois formes qu'elles peuvent choisir pour réaliser ce pavage ? (on ne justifiera pas la réponse).
b) La construction de ces alvéoles doit être la plus économique possible.
    À aire égale, quel est, parmi les trois polygones réguliers possibles, celui qui a le plus petit périmètre ?

CAEN  Voir la Correction
5 candidats se présentent à trois épreuves : Anne, Bertrand, Claude, Damien et Esthelle, en Sciences et Vie de la Terre, en Physique et en Mathématiques.
Attribuer à chaque candidat la note obtenue en Mathématiques.

• En SVT les notes vont de 1 en 1 de 11 à 15, en Physique de 2 en 2 de 6 à 14, en Mathématiques de 2 en 2 de 8 à 16.
• C'est une fille qui a eu la meilleure note en mathématiques.(propriété 1)
• Esthelle n'a pas eu 11 ni 13 en SVT. Elle a obtenu 2 points de moins en Physique qu'en Maths.(propriété 2)
• Claude a ramené des notes identiques en SVT et en Maths de 2 points supérieures à celle de Physique.(propriété 3)
• Anne qui a eu 8 en Physique, a obtenu en SVT un point de moins que l'élève ayant eu 8 en Maths mais un point de plus que l'élève noté 14 en Physique.(propriété 4)
• Bertrand, en Physique, a eu 2 points de plus que l'élève qui a eu 12 en SVT mais 2 points de moins que l'élève ayant eu 14 en Maths.(propriété 5)

CRETEIL
On considère trois points A, B et C alignés dans cet ordre sur une droite ( D ).
Soit O le milieu du segment [BC]. On appelle ( C ) le cercle de diamètre [BC].
Un cercle variable (G) passant par les points O et A recoupe le cercle ( C ) en P et Q.

1. Les tangentes en P et Q au cercle ( C ) se coupent en T. Quel est l'ensemble des points T ?
   
   
2. Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle APQ. Quel est l'ensemble des points I ?  

DIJON Voir la Correction
C₁ et C₂ sont deux cercles de centres distincts O₁ et O₂ et de rayons distincts R₁ et R₂, tangents extérieurement en un point A.
On appelle B le point de C₁ diamétralement opposé à A.
A tout point M de C₁, distinct de A et de B, on associe le point M' de C₂ tel que le triangle MAM' soit rectangle en A.

Montrer que la droite (MM') passe par un point fixe lorsque M décrit le cercle C₁ privé de A et de B.
 
On appelle J le milieu du segment [MM']. Déterminer le lieu de J lorsque M décrit le cercle C₁ privé de A et de B.
 
Quelle doit être la position de M pour que l'aire du triangle MAM' soit maximale ?

LILLE
 On considère la fonction f définie par  
1. Montrer que la fonction f s'annule une seule fois sur [0 , p].  
    On note x₀ la solution de l'équation  " f(x)=0 " sur [0 , p]
2. Sur la Terre supposée sphérique, un voyageur quitte un point de l'équateur, parcourt Rx₀ km vers le nord, puis Rx₀ km vers l'est,
     ensuite Rx₀ km vers le sud et enfin Rx₀ km vers l'ouest  ( R est le rayon de la terre).
      Situer le point d'arrivée par rapport au point de départ.

MONTPELLIER
On considère sept points d'un disque de rayon 1 dont les distances mutuelles sont toutes supérieures ou égales à 1.
Prouver que l'un de ces points est au centre du disque.

NANCY-METZ  Voir la Correction
ABCD est un carré de côté 1. E,F,G et H sont les milieux des côtés du carré.(Voir Figure ci-dessous)

1. Montrer que l'octogone coloré a 8 côtés égaux. Est-il régulier ?
2. Calculer l'aire de cet octogone.
   
   

NANTES

NICE
Un ensemble  E de nombres entiers positifs ou nuls possède les deux propriétés suivantes :
    a)      à chaque fois qu'un nombre x appartient à E on est sûr que 2x³+2 appartient à E .  
    b)      si x et  y sont deux éléments de  leur différence, si elle est positive ou nulle, est aussi un élément de E .

1)  Dans cette question, on suppose que 2 est un élément de E.
     a: Montrer que 18 appartient à E .
     b: Montrer que 0 appartient à E .
     c: Est-ce que 2002 appartient à E ?

2)  Dans cette question, on suppose que E contient au moins un élément (que l'on ne précise pas), est-ce que 2002 appartient à  E ?

ORLEANS-TOURS  Voir la Correction
Deux pyramides de même base carrée ABCD, de sommets respectifs E et F distincts, sont accolées par leur base et forment un octaèdre régulier, c'est à dire un solide formé de huit faces identiques qui sont des triangles équilatéraux.
On suppose que AB=1.
Montrer que les faces ABE et CDF sont parallèles et déterminer leur distance, c'est à dire la plus courte distance d'un point du plan ABE à un point du plan CDF.

PARIS  Voir la Correction
Un terrain de sport a la forme d'un triangle quelconque à angles aigus et l'épreuve de course de vitesse est la suivante :
Le coureur part d'un point de son choix sur l'un des côtés du triangle et se dirige vers un point de son choix sur un autre côté.
De là, il fait de même pour le troisième côté et revient enfin à son point de départ où son temps est relevé...
Bien que courant moins vite que les autres, le dénommé Jules-César FAGNANO (*) a remporté l'épreuve car il est le plus malin : il a trouvé le chemin le plus court.
Quel est ce chemin ?
(*) Giulio-Césare FAGNANO mathématicien italien (1682-1766)

POITIER
Soit une carré ABCD de côté a. Un cercle G , intérieur au carré, est tangent à (AB) et (AD). Un second cercle G', intérieur au carré, est tangent extérieurement à G ainsi qu'aux droites (CB) et (CD).
Soit S la somme des aires des cercles G et G': quelles sont les valeurs minimale et maximale de S?

RENNES  Voir la Correction
Le mathématicien italien Rafael Bombelli (1526-1572) a proposé dans un traité d'algèbre publié en 1572
une méthode permettant de calculer les racines carrées.

Description de la méthode par Bombelli.
" Admettons d'abord que, si nous voulons trouver une racine approximative de 13, celle-ci sera 3 et le reste 4.
Ce reste doit être divisé par 6 (le double du 3 donné avant) ce qui donne 2/3. C'est la première fraction qui doit être ajoutée au 3, faisant 3 2/3 qui est la racine approchée de 13.
Comme le carré de ce nombre est 13 4/9, c'est trop grand de 4/9. Si quelqu'un veut une meilleure approximation, le 6, qui est le double du 3, doit être ajouté à la fraction 2/3 donnant 6 2/3. Avec ce nombre on doit diviser 4, qui est la différence entre 9 et 13. Le résultat est 3/5 qui, ajouté à 3 fait 3 3/5. C'est une meilleure approximation de la racine carrée de 13 parce que son carré est 12 24/25, qui est plus proche que celui de 3 2/3.
Mais si je veux une meilleure approximation, j'ajoute cette fraction au 6, faisant 6 3/5, divisant 4 par cela et obtenant 20/33. Ceci doit être ajouté au 3 comme précédemment, faisant 3 20/33. C'est une meilleure approximation parce que son carré est 13 4/1089 qui est trop grand de 4/1089. "

Explication de la méthode par Bombelli.
" Étant donné que, si on a à trouver la racine la plus proche de 13, le carré de l'entier le plus proche est 9 et la racine est 3, alors je pose que la racine la plus proche de 13 est 3 + 1 inconnue et que son carré est 9 + 6 inconnue + 1 carré de l'inconnue. Et ils ont seulement égalé 6 inconnue à 4, de sorte que l'inconnue vaudrait 2/3 et ont fait que l'approximation vaudrait 3 2/3, parce que la supposition 3+1 inconnue vient à être 3 2/3.
Mais voulant encore tenir compte du carré de l'inconnue, l'inconnue valant 2/3, le carré de l'inconnue vaudra 2/3 de l'inconnue qui, étant ajouté au 6 inconnue du début, donnera : 6 2/3 de l'inconnue égale à 4, que je résous. L'inconnue vaudra 3/5 et parce qu'il a été posé 3 + 1 inconnue, on aura 3 3/5 ; et l'inconnue valant 3/5, le carré de l'inconnue vaudra 3/5 de l'inconnue et on aura 6 3/5 de l'inconnue égale à 4. C'est ainsi que l'on voit d'où naissent les règles vues ci-dessus. "

Questions :
   Seriez-vous capable de poursuivre le procédé ? De l'appliquer à un autre nombre ?
  Quelles questions mathématiques pertinentes peut-on se poser sur la méthode ?
  On ne vous demande pas nécessairement de répondre aux questions que vous vous posez et
   on privilégiera la pertinence mathématique des questions à leur nombre.

STRASBOURG
Les points A₁ à A₁₂ , associés aux heures correspondantes, sont placés sur le cadran d'une montre à aiguilles.
1: Déterminer l'angle géométrique aigu formé par les deux droites ( A₂ A₁₁ ) et ( A₅ A₇ ).
2: Parmi toutes les droites passant chacune par deux des points A₁ à A₁₂ , combien de paires donnent le même angle que précédemment ?
                                  

TOULOUSE
Les nombres entiers de 1 à 2002 sont écrits en tableau. parmi eux, on choisit deux nombres, on les efface et, à la place de l'un d'eux, on écrit leur différence (le plus grand moins le plus petit), l'autre nombre restant effacé.
On recommence ... jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit au tableau.

Ce dernier nombre est-il pair ou impair ? (Indications: Si a et b sont 2 entiers , (a+b) et (a-b) ont même parité)

VERSAILLES
On considère un carré ABCD de côté a.Soit E un point fixé de ]BC[.
 1: Montrer qu'il existe un point F de ]CD[ tel que le périmètre du triangle CFE soit égal à 2a.
 2: Quelle est alors la mesure de l'angle EÂF

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