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Correction Besançon 2002:
Rappel
de l'énoncé:
Victor est un écrivain très prolifique.
Chaque année, il écrit
un nouveau recueil de poèmes qui a la particularité de posséder un poème de plus
que le recueil de l'année précédente. En 2002, après la publication de son
dernier ouvrage, son éditeur lui fait remarquer que le nombre total de poèmes
qu'il a écrits est exactement de 2002. Pouvez vous dire en quelle année
Victor a écrit son premier recueil de poèmes et combien de poèmes celui-ci
comprenait-il ?
Appelons Ak l'année
où Victor écrit son premier kème recueil et
Nk le nombre de poèmes contenus dans ce recueil.
Les hypothèses
sont que d'une année sur l'autre, le nombre de poèmes augmente
d'une unité par recueil et qu'en 2002, le nombre total de poèmes
écrit par Victor est exactement 2002.
On a donc les relations suivantes:
- Nk+1=Nk + 1
- N1 + N2+ ...+ Nn = 2002 où n
est le nombre d'années pendant lesquelles Victor a écrit ses
recueils
- A1 = 2002 - n +1
La première relation nous dit que (Nk) est une sute arithmétique
de raison r = 1 , et la seconde relation nous dit que la somme des termes
de cette suite , de k =1 à n , est S = 2002.
Or, N1 + N2 + ...+ Nn = nN1
+ n(n-1)/2 = n(N1+Nn)/2 , on a donc :
n(2N1+(n-1)) = 4004.
n est donc un diviseur de 4004. Même
si Victor a la reputation d'être un écrivain très performant,
on peut supposer que n est de l'ordre de l'espérance de vie d'une être
humain, donc, disons inférieur à 100.
Les diviseurs de 4004
sont (Ecrire 4004 = 22x7x11x13)
:
1 ; 2 ; 4; 7 ; 11 ; 13 ; 14 ; 22 ; 26 ; 28 ; 44 ; 52; 77; 91 ; 143 ; 154
; 182 ; 286 ; 308 ; 364 ;572 ; 1001 ; 2002 ; 4004.
Comme N1 = [(4004)/n - (n-1)]/2 doit être entier positif,
on peut alors tester simplement les valeurs possibles de n .
Et là,
on se rend compte que pour :
- n = 1 , on peut choisir N1 = 2002 , année du
premier recueil = A1 = 2002
- n = 4 , on peut choisir N1 = 499 , année
du premier recueil = A1 =1999
- n = 11, on peut choisir N1 = 177 , année
du premier recueil = A1 = 1992,
- n = 13 , on peut chosir N1 = 148 , année
du premier recueil = A1 =1990
- n = 28 , on peut choisir N1 = 58 , année
du premier recueil = A1 =1975
- etc , etc , .....
Par exemple, Victor a pu écrire son premier recueil en 1990. Celui
contenait 148 poèmes.
Les recueils suivants, et ce jusqu'en 2002,
contenait :
149 , 150 , 151 , 152 , 153 , 154 , 155 , 156 , 157 , 158 , 159
, 160 .
Le total de ses poèmes publiés, de 1990 à 2002
, est alors 2002
On ne peut donc pas , à priori, dire en quelle année Victor
a écrit son premier recueil, ni combien de poèmes il contenait.
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