Exercices des Olympiades Académiques 2002

Considérons le repère orthonormé de centre A dans lequel les coordonnées respectives de B et C sont (1;0) et (1;1).
Il est assez simple de voir que les équations des droites suivantes sont:
(AF) : [Maple Math]

(EC) :

(BG) :

(FD) :

(CH) :

(GA) :

(DE) :

(HB) :

On obtient alors les coordonnées des sommets de l'octogone IJKLMNOP.
[Maple Math]

Un simple calcul de distance donne alors que:
IJ = JK = KL = LM = MN = NO = OP = PI =

Les côtés de l'octogone IJKLMNOP ont bien tous la même longueur.

Cet octogone est régulier si de plus, il existe un point

équidistant des sommets.
C'est à dire, si les médiatrices des côtés ont un point commun.
Or, la médiatrice du segment [IJ] a pour équation : [Maple Math]

De même, la médiatrice du segment [JK] a pour équation : [Maple Math]

Leur point d'intersection est donc le point [Maple Math]

Le calcul des distances de ce point aux sommets de l'octogone donne:

mais

.
On en déduit qu'il n'existe aucun point équidistant des point I , J , K et L.
L'octogone n'est pas régulier.

Remarquons maintenant que le quadrilatère RSTU est un carré.
Les coordonnées de ses sommets sont [Maple Math]

, etc (trouvez les autres....)
L'aire de ce carré est donc : [Maple Math]

Or , l'aire de l'octogone est égale à l'aire de ce carré, moins l'aire des 4 triangles rectangles (IRJ) , (KSL) , ( MTN) , (OUP).
Ces quatres triangles ont une même aire qui est : [Maple Math]

D'où, l'aire de l'octogone est : [Maple Math]

ou encore , après calcul : [Maple Math]

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