Correction Exercices Nationaux Olympiades Académiques 2002

Exercice 1:
 Appelons V la vitesse de la dernière fourmi remontant la colonne et v celle de la colonne, exprimées en cm/h
 Le déplacement de cette fourmi se décompose en 2 parties:
 *  Elle remonte la colonne sur une distance D₁ pendant un temps t₁.
 *  Elle revient à sa place sur une distance D₂ pendant un  temps t₂ .
La distance parcourue par la fourmi est D = Vx(t₁+t₂) =
La vitesse relative de la fourmi par rapport à la colonne durant la remontée est (V-v).
Elle remonte donc les 50cm de la colonne durant t₁ à une vitesse de (V-v), par rapport à la colonne.
De même, elle revient à sa place à une vitesse de (V+v) par rapport à la colonne.
Elle refait donc ce trajet de 50cm durant t₂ à une vitesse de (V+v) par rapport à la colonne.
Or, (V-v)xt₁ = 50  et  (V+v)xt₂ = 50.
Le temps total du trajet est t = t₁+ t₂ , temps durant le quel la colonne a pourcouru 50cm.
v étant la vitesse de la colonne , on a donc : vx(t₁+t₂) = 50 .
En résumant, on a donc les relations :

Exercice 2:
1: Les 10 personnes recoivent la somme de leur numéro et de ceux de leurs voisins directs.
Donc, la somme totale perçu par les 10 personnes est : S = 3(1+2+3....+10) = 165.
La somme moyenne reçu par une personne est donc s = 16,5.

2: Les sommes reçues par les personnes sont des entiers . La moyenne de ces sommes est s=16,5.
Si toutes les personnes reçoivent une somme strictement inférieure à 17, les sommes reçues sont alors inférieures ou égales à 16. La moyenne ne peut donc être 16,5.
Il y a donc une contradiction, il existe donc au moins une personne recevant au moins 17 euros.

3:  Il suffit de prendre la suite suivante 1, 10, 6, 2, 9, 5, 4, 8, 3, 7, correspondant au numéro attribué dans l'ordre de placement des 10 personnes .
Les sommes reçues sont alors, en suivant le même ordre des personnes:

On vérifie que l'on à bien "Total des Sommes perçues = 165"
3: Peut-avoir une répartition des numéros telle que les sommes reçues par les personnes soient toutes strictement inférieures à 18?
Réponse : NON!

La personne A qui reçoit le numéro "1" étant idendifiée, il reste 9 personnes ayant reçu des numéros strictement supérieurs à 1.
La seconde personne placée à gauche de A a reçu au maximum 17 euros.
La seconde personne placèe à droite de A a reçu au maximum 17 auros.
La cinquième personne placée à droite (ou à gauche, c'est la même chose) de A à reçu au maximum 17 euros.
Les numéros utilisés pour calculer les sommes reçues par ces 3 personnes font de 2 à 10, chacun de ces numéros étant utilisé une et une seule fois.
La somme totale reçue par ces 3 personnes est donc: 2+3+4+...+10=54.
Or, la somme totale reçue par ces 3 personnes doit être inférieures à 3*17 = 51.
D'où contradiction!
Donc, on ne peut pas avoir toutes les sommes reçues strictement inférieures à18.
Il existe donc au moins une personne ayant une somme au moins égale à 18 euros.