Correction Orléans-Tours 2002

 En notant I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD], les segments [EI], [EJ],[FI] et [FJ] sont alors des hauteurs d'un triangle équilatéral de côtés de longueur égale à 1 . La longueur de ces segments est : .  
Par suite,  EIFJ est un losange et donc les droites (AB) et (EI) sont sécantes et dans le plan (ABE) et sont respectivement parallèles aux droites (CD) et (FJ) du plan (CDF). Les plans sont (ABE) et (CDF) sont donc parallèles.
Puisque le losange (EIFJ) est dans le plan médiateur des segments [AB] et [BC], la distance entre les deux plans (ABE) et (CDF) est aussi la hauteur h du losange.

Or les diagonales du losange EIFJ ont pour longueur IJ = 1 et EF =  .
L'aire de ce losange est alors :  
           
           d'où :
           .