Correction Paris 2002
Rappel de l'énoncé:
Un terrain de sport a la forme d'un triangle quelconque à angles aigus et l'épreuve de course de vitesse est la suivante :
Le coureur part d'un point de son choix sur l'un des côtés du triangle et se dirige vers un point de son choix sur un autre côté.
De là, il fait de même pour le troisième côté et revient enfin à son point de départ où son temps est relevé...
Bien que courant moins vite que les autres, le dénommé Jules-César FAGNANO (*) a remporté l'épreuve car il est le plus malin : il a trouvé le chemin le plus court.
Quel est ce chemin ?
(*) Giulio-Césare FAGNANO mathématicien italien (1682-1766) 

Le problème peut être posé de la façon suivante:
ABC étant un triangle dont les angles internes sont aigus, comment choisir 3 points P, Q et R sur chacun des côtés de ce triangle pour le périmètre du triangle PQR soit minimum ?
Choisisons alors P sur [BC] , R sur [AB] et Q sur [AC].
Soient P' et P" les symétriques orthogonaux du point P respectivement par rapport aux droites (AC) et (AB).
La médiatrice de [PP"] est (AB). Donc , comme R est sur [AB] , on a : RP = RP".
De même, on a: QP = QP' .
Donc, le triangle PQR a pour périmètre : RP" + RQ + QP'.
Cette somme est minimale si et seulement si R et Q appartiennent au segment [P'P"].
Ce minimum est alors la distance P'P". (voir la figure)
Le problème revient donc à trouver le point P sur [BC] tel que P'P" soit minimal, P' et P" étant les symétriques orthogonaux de P par rapport à (AC) et (AB).
Remarquons alors que l'angle (P'ÂP") est égale à 2(BÂC) .
Effectivement, comme A et B sont sur la médiatrice de [PP"], on a (P"ÂP) = 2(BÂP).
De même, (PÂP') = 2(PÂC').
D'où (P'ÂP") = (P'ÂP) + (PÂP") =  2(PÂC) + 2(BÂP) = 2(BÂC).

Bien sur, la position des autres points R et Q s'étudie de la même façon.

Conclusion:
Le triangle PRQ de périmètre minimale tel que P soit sur [BC] , R sur [AB] et Q sur [AC], avec ABC triangle dont tous les angles internes soient aigus, est obtenu pour P, Q et R projeté orthogonaux des points A, B et C sur les segments opposés, c'est à dire, en prenant les pieds des hauteurs du triangle ABC.

Figure dans le Cas Général