Correction Olympiades Académiques 2002 Rennes
L'idée première
de la méthode est de remarquer que 
entre compris strictemente entre 3 et 4, donc de la forme , (3+X) ,
X compris
entre 0 et 1 et vérifiant : (3+X)² = 13 d'où
9 + 6X + X² = 13.
Comme 0 < X < 1 , X² est "petit"
par rapport aux autres termes.
On "néglige"
alors le X² et on cherche la valeur X1 telle que
: 9 + 6X1 = 3 .
On a donc:
9 + 6X1 = 13 d'où X1 =
2/3.
On a X > X1 .
De 9 + 6X + X² =
13 , on a : 6X + X² = 4 ou encore (6 +X)X = 4.
On
cherche X2 tel que (6+X1)X2 = 4.
On a alors X2 = 3/5.
Puis on cherche
X3 tel que (6 +X2)X3 = 4 . On a
alors X2 = 20/33 .
Puis enfin, on cherche X4
tel que (6 +X3)X4 = 4 . On a alors X4
= 66/109
De même, on peut calculer on cherche X3
tel que (6 +X2)X3 = 4 . On a alors X5
= 109/180.
Si on résume la situation, en partant d'un réel A > 0 , voilà comment est ordonné le calcul.
1: On cherche
n entier tel que n ²< A < (n +1)².
2:
On définit alors la suite (Xk) de la façon
suivante:
Xo = A - n²
, et pour tout k > 0 , (2n + Xk)Xk+1
= A-n², c'est à dire : 
Alors la suite (Xk) converge vers 
ou autrement dit: 
De plus, la suite des termes d'indices pairs est croissante et celle
des termes d'indices impairs est décroissante.
Autrement
dit, on :
Ceci se démontre sans difficultés (En TS), une fois que la récurrence a été vue!