Les deux Exercices communs des Olympiades 2003

1. Les pages d'un livre sont numérotées de 1 à n (on rappelle que la page numérotée 1 est toujours une page de droite). On additionne les numéros de toutes les pages et on trouve un total égal à 2003. Mais deux pages numérotées sont restées collées et leurs numéros n'ont pas été comptés.
   Quels sont le nombre de pages du livre et les numéros des pages collées ?
    
    
2. On se propose de déterminer toutes les configurations de quatre points distincts A, B, C, D du plan telles que leurs distances mutuelles AB, AC, AD, BC, BD, CD ne prennent que deux valeurs exactement que l'on notera x et y. C'est par exemple le cas lorsque ABCD est un carré, x est la longueur des côtés et y celle des diagonales.
   
   1: Etude du cas " 1,5 " où l'une des distances est égale à x et les cinq autres à y.
       Montrer qu'il existe, à l'ordre près des points, une seule configuration répondant à la question. Dessiner cette configuration.
   2: Etude du cas " 2,4 " où deux distances sont égales à x et les quatre autres à y.
       a) On suppose que les deux segments de longueur x n'ont pas de sommet commun. Quelle configuration obtient-on ? La dessiner.
      b) Que se passe-t-il lorsque les deux segments de longueur x ont un sommet en commun ?
   3: Etudier le cas " 3,3 ".
   
    
3. René dispose dans son jardin d'une très grande terrasse carrelée avec de très belles dalles carrées de 0,5 m de côté.
   Il décide de construire sur cette terrasse une table ronde avec les pieds sur le bord et un parasol central.
   René est un bricoleur prévoyant, aussi, pour gagner en stabilité, il décide que la table devra avoir le maximum de pieds, tous solidement fixés dans le sol. Tout comme le parasol car on n'est jamais à l'abri d'un coup de vent...
   Mais René est aussi un bricoleur soigneux ; alors, pour ne pas détériorer les dalles, il choisit de percer la terrasse uniquement aux intersections des joints de séparation.
   La figure ci-dessous donne un exemple de table à 8 pieds.
   

Si n désigne le nombre de pieds de la table et d son diamètre exprimé en mètres, on définit le coefficient de solidité s
de la table par la formule . Une table est donc d'autant plus solide que son coefficient de solidité est élevé.
1: Calculer le coefficient de solidité de la table ci-dessus.
2: Quelles sont les deux tables les plus petites ? Préciser leur coefficient de solidité.
3: Quel est le coefficient de solidité maximal d'une table à 12 pieds ?
4: Quelle est la table la plus solide ?
5: René peut-il fabriquer une table à 16 pieds dont le diamètre exprimé en mètres soit un nombre entier ?

Les Exercices Académiques

AIX-MARSEILLE
Mat et Matix s'amusent avec le jeu suivant :
Pour toute la durée du jeu, ils se fixent un nombre entier n > 1.
A chaque tour, ils tirent au sort deux nombres entiers distincts et strictement positifs x et y.
Ils essaient en partant de x, d'arriver à y, en plusieurs étapes, avec la contrainte suivante :

  - A une certaine étape, si z est le nombre initial ou le nombre obtenu à l'étape précédente,
     on peut seulement ajouter n à z, soustraire n à z, multiplier z par n, ou diviser z par n.
      Si au bout de m étapes on obtient y, on dit que le passage de x à y, à l'aide de n, est réalisable en m étapes.

Pour mieux comprendre, prenons par exemple n = 3 , x = 5 et y = 63.
Nous pouvons faire alors 5x3 = 15 puis 15+3 = 18 puis 18+3 = 21 et enfin 21x3 = 63
et donc le passage de 5 à 63, à l'aide de 3 est réalisable en 4 étapes.

1: Donner un passage de 15 à 16, à l'aide de 2, en 3 étapes, puis un passage de 168 à 126, à l'aide de 7, en 4 étapes.

2: Prouver que si le passage de x à y, à l'aide de n, est réalisable en m étapes, le passage de y à x, à l'aide de n,
      est aussi réalisable en m étapes.

3: Prouver que le passage de x à y est toujours réalisable. 

AMIENS
La figure représente un couloir (les largeurs étant 200 cm et 150 cm).

Quelle doit être la longueur maximale de la planche AB pouvant franchir le virage?
On attend une valeur approchée à 1 cm près.

BORDEAUX
Etant donné un triangle ABC rectangle en A, on note : AB = c, AC = b et BC = a.
On veut construire deux carrés inscrits dans ce triangle : le premier ayant A pour sommet, le second ayant un côté porté par l'hypoténuse.
1: Expliquer pour chacun d'eux comment réaliser la construction.
2: Exprimer les côtés x et y de ces deux carrés en fonction de b et c puis comparer leur aire.

CAEN
Une roue de camion tourne devant le soleil et crée une ombre sur le sol. Cette roue comporte des jours qui laissent passer les rayons du soleil créant dans l'ombre des jeux de lumière.
Pour simplifier l'étude de la situation, on suppose que la roue est plane et située dans un plan vertical, que le sol est horizontal, que les rayons du soleil sont tous parallèles, situés dans des plans perpendiculaires à la fois au plan du sol et au plan de la roue et enfin que, M étant un point de l'espace, H le projeté orthogonal de M sur le sol et N le point d'intersection avec le sol du rayon solaire passant par M, (à ce moment donné de la journée).

1. La roue comporte un jour rectangulaire ABCD tel que (AB) soit parallèle au sol, AB = 6 et BC = 4, les mesures étant données en centimètres. Dessiner, en vraie grandeur, la tache de lumière A'B'C'D' créée par ABCD dans l'ombre de la roue.

2. Par rapport à la situation précédente, la roue a tourné de radians.
   Dessiner, en vraie grandeur, la tache de lumière A'B'C'D' créée par ABCD dans l'ombre de la roue.
  On pourra s'aider du rectangle PQRS situé dans le plan de la roue tel que (PQ) soit parallèle au sol et que
   chacun des sommets A, B, C et D appartienne à l'un des côtés du rectangle PQRS.

3. Etudier si, dans la rotation de la roue, l'aire de la tache de lumière A'B'C'D' admet un extremum. Préciser éventuellement sa nature et sa valeur.

CLERMONT-FERRAND
On appelle « mot » n'importe quelle juxtaposition de lettres, prises parmi les vingt-six que compte l'alphabet, que ce « mot » ait une signification ou non.

On associe à chaque mot un couple de nombres de la manière suivante : au début, ce couple (x , y)  vaut toujours (0 , 0).
On considère alors les lettres du mot, les unes après les autres, de gauche à droite ; chaque lettre transforme le couple (x , y )  selon la règle :
la lettre  A  change  x  en  x+1
la lettre  B  change  x  en  x-1
la lettre  C  change  y  en  y+1
la lettre  D  change  y  en  y-1
la lettre  E  change  x  en  x+1
 la lettre  F  change  x  en  x-1
la lettre  G  change  y  en  y+1
la lettre  H  change  y  en  y-1
et ainsi de suite, en suivant l'ordre alphabétique.

Exemples: 
le mot  « AD »  donne le couple  (1 , -1)
le mot « JEU »  donne le couple  ( 1 , 0 )
 le mot  « BBAGC »  donne le couple (-1 , 2)

1: Quel couple obtient-on avec le mot « LOGIQUE » ?
2: Combien existe-t-il de mots de deux lettres conduisant au couple  (1  , 1) ?
3: Peut-on obtenir ce couple  (1 , 1)  avec un mot de dix lettres ? avec un mot de trente-sept lettres ?
4: Peut-on obtenir le couple  (4 , 7 ) avec un mot de dix lettres ?

CORSE
Soit ABC un triangle non isocèle, et G son centre de gravité
1: a: Démontrer que les triangles ABG, ACG, BCG ont la même aire
    b:  Soit M un point intérieur au triangle ABC, démontrer que si ABM, ACM et BCM ont la même aire alors M=G
On dit que l'on a obtenu une partition du triangle ABC en 3 triangles de même aire
 2:    Déterminer toutes les partitions possibles de ABC en 3 triangles de même aire,  préciser la position des sommets des triangles obtenus .

CRETEIL
Au croisement des cordes :
Toute idée ou élément de démonstration, s'ils sont intéressants et clairement rédigés  seront pris en compte, même s'ils ne conduisent pas à une solution.
 

Lorsqu'ils sont tous arrêtés les trois garçons tendent leurs cordes à ras de terre et les trois filles aussi.

1. Reproduire à la règle et au compas la figure et la compléter en représentant les six cordes dans leur position finale.
2.Les cordes des trois garçons se croisent-elles en un même point ? Pourquoi ?
3. Les cordes des trois filles se croisent-elles en un même point ? Pourquoi ?

DIJON
Un professeur commande des livres pour n élèves de première S. Le prix d'un livre est 20 euros, mais l'éditeur offre un livre pour 4 livres achetés.
On appelle p_n le prix de revient moyen de chaque livre.
1: Présenter dans un tableau les vingt premières valeurs p₁, p₂, ..., p₂₀ de la suite (p_n).
2: Quelles conjectures formuleriez-vous à propos de cette suite ?
3: Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles p_n = 16 ?
4: Exprimer p_n en fonction de n, pour tout entier naturel n >= 1.
5: La suite (p_n) est-elle convergente ?

LILLE
Pour préparer au mieux les Olympiades Académiques de Mathématiques, les élèves de première du lycée Honboss ont décidé de mettre à profit les 10 jours qui précèdent le jour J en révisant les épreuves des années précédentes.
1: Jean Névitmar a décidé d'alterner jour de révision et jour de repos, c'est à dire qu'un jour de révision est toujours suivi d'un jour de repos qui lui-même est toujours suivi d'un jour de révision.
De combien de façons Jean Névitmar peut-il organiser ses révisions durant les 10 jours ?

2: René Zitant, au gré de son humeur, choisit chaque jour de réviser ou non, sans se soucier de ce qu'il a fait les jours précédents.
De combien de façons René Zitant peut-il organiser ses révisions durant les 10 jours ?

3: Gérard Manvussa a une technique bien particulière. Lorsqu'il révise, il le fait par période de 2 jours consécutifs, jamais davantage. Seule exception, il peut réviser le dernier jour, même s'il n'a pas révisé l'avant-dernier jour.
Combien de façons Gérard Manvussa peut-il organiser ses révisions durant les 10 jours ?

4: Craignant le trouver des élèves trop fatigués pour le jour J, le professeur de mathématiques Yann Amar interdit de réviser 2 jours de suite. A partir de cette règle, toutes les démarches sont possibles ; par exemple, Théodore Toultant choisit de ne rien réviser , alors que Jean Veupluss travaille le premier jour, le troisième et ainsi de suite tous les jours impairs.
De combien de façons, suivant cette règle, un élève peut-il organiser ses révisions durant les 10 jours?

LYON
Trois propriétaires P1, P2 et P3 disposent chacun d'une parcelle de terrain carrée, jouxtant un lac triangulaire ABC rectangle en A.
Ils décident de délimiter leurs "eaux territoriales" en plaçant une bouée M de telle sorte que les surfaces MAB, MBC et MCA soient proportionnelles aux aires des parcelles adjacentes.
Déterminer la position de cette bouée dans le lac.

MARTINIQUE
Le solitaire du cancre se joue seul sur du papier quadrillé.
Au départ, on dispose de 36 points formant la figure 1 ci-dessous:

A chaque étape, on place un point sur un noud du quadrillage de manière à obtenir 5 points alignés que l'on relie d'un trait.

On doit respecter les règles suivantes :
· On ne trace qu'un trait de 5 points par étape.
· Les traits ne doivent pas se superposer, mais peuvent se croiser ou être alignés.
· On ne peut avoir de traits de plus de 5 points.

Figure 2 : exemples de traits autorisés
             

Figure 3 : exemples de traits non permis :
          

Le but de l'exercice est de montrer que le jeu s'arrête nécessairement.
A une étape donnée, on appelle potentiel d'un point le nombre de directions issues de ce point (au maximum 8 ) non situées sur une ligne déjà tracée.

1°) Sur la figure 4 ci-dessous , le potentiel du point A est 4.
Figure 4:

Calculer la somme des potentiels des points de la figure. Comparer cette somme avec celle de la figure de départ.
2°) Montrer que la somme des potentiels de tous les points placés est la même à chaque étape.µ
3°) Conclure que le nombre d'étapes est fini.

NANCY-METZ
      
Les deux arcs et sont centrés en O, A appartient à ]OC[ et B appartient à ]OD].On note
   - S₁ l'aire du domaine (OAB)
   - S₂ l'aire du domaine (ABCD)
   - P₁ le périmètre du domaine (OAB)
   - P₂ le périmètre du domaine (ABCD)
   - a est une mesure en radians de l'angle ,   0 < a <  p .
1- On suppose que S₁ = S₂ et P₁ = P₂ . Déterminez la mesure a .
2- On suppose que S₁ = S₂. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle le rapport des périmètres (P₂ / P₁) est maximum? minimum?
3- On suppose que P1 = P2 . Existe-t-il une valeur de a pour laquelle le rapport des aires (S₂ / S₁) est maximum? minimum?

PARIS
Sur le schéma ci-joint, le segment [AB] représente la ligne d'essai d'un terrain de rugby (marquer un essai consiste à déposer le ballon sur cette ligne ou au-delà).
Les poteaux de but sont représentés par les points P et Q, on sait que PQ = 5,6 m.
Un essai a été marqué en E, à gauche du poteau P et à 10 m de celui-ci.
Transformer cet essai consiste à tirer d'un point de son choix situé sur la perpendiculaire en E à (AB) et à faire passer le ballon entre les poteaux.
On admettra que le point T, point idéal de tir, est celui pour lequel l'angle   est maximal.
Calculer la distance ET pour laquelle cet angle est maximal.
                                            

POITIER
Soit un segment [AB] de longueur 4. Un point O peut se déplacer sur [AB].
O est l'origine d'une tige articulée constituée de deux segments [OI] et [IJ] :
OI=5 et [OI] peut pivoter librement autour de O. IJ=1 et [IJ] peut pivoter librement autour de I.
1- Déterminer et représenter l'ensemble D des positions que peut prendre le point J lorsque O est en A.
2- Déterminer et représenter l'ensemble E des positions que peut prendre le point J lorsque O se déplace sur [AB].
3- Quelle est l'aire de E? 

RENNES
1-  A l'intérieur de la carte de France ci-contre, on dessine une seconde carte de France, plus petite, telle que les villes de Paris des deux cartes coïncident.
Paris est-il le seul lieu géographique des deux cartes  pour lequel il y a coïncidence ?
                                                            

2-   On pose maintenant de façon aléatoire une petite carte de France sur une grande carte de France qui la contient en totalité.
Pourquoi n'y a-t-il qu'un seul lieu géographique qui soit superposé dans ces 2 cartes ? (voir annexe 1)

 

Annexe 1	Annexe 2

ROUEN
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a (a>o), de hauteur h (h>o).
M étant un point situé à l'intérieur du triangle ABC, on appelle H, K et L les projetés orthogonaux respectifs de M sur (AB), (AC) et (BC).

Démontrer que : MH+MK+ML=h 

STRASBOURG Voir la Correction

Une ligne est désignée par le nombre écrit dans sa première case à gauche.
Une colonne est désignée par le nombre écrit dans sa case la plus haute.
Un nombre est repéré par la ligne et la colonne dans lesquels il se trouve. 

Par exemple :  Le nombre  11  est repéré par  ( 10 ; 5 ) . Le nombre  8  est repéré par ( 5 ; 4 ). 

Comment est repéré le nombre 2003 ?

TOULOUSE
On dispose de n boîtes contenant respectivement 1, 2, 3, ... , n jetons. Il s'agit de les vider en respectant les règles suivantes qui constituent, dans cet ordre, une étape :
a) on choisit un certain nombre de boîtes
b) on extrait de chacune des boîtes choisies un même nombre de jetons.
Par exemple, avec cinq boîtes contenant respectivement 1, 2, 3, 4 ,5 jetons, une étape peut consister à choisir les deux dernières, à extraire quatre jetons de chacune. Les boîtes contiennent alors respectivement 1, 2, 3, 0, 1 jetons.
Le nombre de boîtes choisies, le nombre de jetons extraits peuvent varier à chaque étape.
1: Vider 7 boîtes en un aussi petit nombre d'étapes que possible.
2: Décrire une stratégie permettant de vider 2003 boîtes en 11 étapes.
3: Donner une méthode permettant de vider un nombre quelconque de boîtes en un nombre d'étapes aussi petit que possible. 

VERSAILLES
Dans tout ce qui suit, les polygones considérés sont convexes ; pour chaque sommet S d'un polygone, on notera l'angle intérieur , où R et T sont les sommets voisins de S.
1. Soit ABCD un quadrilatère tel que :
   . La diagonale [AC] divise chacun des angles et en deux angles égaux,
   . La diagonale [BD] divise chacun des angles et en deux angles égaux.
      a. Prouver que ABCD est un losange.
      b. Le losange ABCD est - il nécessairement un carré ?

2. Soit maintenant un pentagone ABCDE tel que les deux diagonales issues du sommet A ( respectivement B, C, D et E)
      divise l'angle ( respectivement , , et ) en trois angles égaux.
      Prouver que ABCDE est un pentagone régulier.

3. Soit enfin A₁A₂.A₂₀₀₃ un polygone à 2003 sommets tel que pour chaque sommet A_i, les 2000 diagonales issues de
      A_i divisent l'angle Â_ien 2001 angles égaux.
      Prouver que le polygone A₁A₂.A₂₀₀₃ est un polygone régulier.

Si vous avez un exercice académique non-présent dans cette liste, faites-le nous parvenir.
Pour cela, utilisez l'adresse suivante : olympiades@maths-express.com
Merci d'avance.

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