Les deux Exercices communs des Olympiades 2004

Exercice I : (Indications)
On définit pour chaque couple de réels (a , b ) la fonction f par :
                                         
     Deux nombres réels u et v distincts sont dits échangeables s'il existe au moins un couple de réels
     (a , b) tel que la fonciton f vérifie à la fois f(u) = v et f(v) = u .

Montrer que 2 et 3 sont échangeables
Peut-on en dire autant de 4 et 7?
A quelle condition deux entiers u et v sont-ils échangeables?

Exercice II :(Indications)
Soit ABCD une feuille de papier rectangulaire de largeur AB = 4 et de longueur BC =6.
 Soit R un point de [AB] (bord inférieur de le feuille) et T un point de [AD] (bord droit de la feuille).
 On replie la feuille suivant le segment [RT] et on appelle S la nouvelle position du pint A (coin inférieur droit de la feuille).
Voir figure à gauche:
 Dans tout l'exercice, on s'intéresse au cas où S est sur le segment [BC] (bord gauche de la feuille).
 On pose AR = x et AT = y .
1:  Trouver les valeurs minimale et maximales de x.
2: Trouver une relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC].
3: Trouver la valeur x pour laquelle l'aire de la partie repliée (triangle SRT) est minimale.
4: Quelle est alors la nature du triangle AST ?

Les Exercices Académiques

AIX-MARSEILLE:
Exercice 1
Dans les trois premières questions, on considère les fonctions  f  définies sur le plan, à valeurs dans R , et vérifiant la propriété (P) suivante :
                            Pour tout triangle  équilatéral  ABC,  on a   f (A) + f (B) + f (C) = 1
1)  Donner un exemple d'une telle fonction.
2)  M  et N  sont deux points distincts.
     a) Construire à la règle et au compas deux points A et B tels que les triangles MAB et NAB  soient équilatéraux. Expliquer la construction.
     b) Prouver que pour une fonction  f  vérifiant la propriété (P), on a  f (M) = f (N)
3)  Déterminer toutes les fonctions f  vérifiant la propriété (P).
4)  Déterminer toutes les fonctions f  définies sur le plan, à valeurs dans R , telles que pour tout losange ABCD, on ait :  f (A) + f (B) + f (C) + f (D)= 1

BORDEAUX:
Exercice 1
Partie A
Déterminer tous les entiers naturels x, y, z vérifiant l'équation : x + y + z = xyz

Partie B
Pour n entier naturel non nul donné, on s'intéresse aux entiers naturels x, y et z vérifiant l'équation : x + y + z + n = xyz.
1°) Montrer que les nombres x, y et z sont tous inférieurs ou égaux à n + 3.
2°) On suppose que z = n + 3. Déterminer les valeurs possibles de x et y.
3°) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle on peut trouver des entiers naturels x, y, z strictement inférieurs
      à n + 3, vérifiant x + y + z + n = xyz ?

Exercice 2
Un segment de longueur p (p > 0) étant donné, on cherche à construire un parallélogramme ANMP ayant pour périmètre 2p, comme indiqué sur la figure ci-dessous, M, N et P appartenant chacun à l'un des côtés du triangle.

On note a la longueur du côté [BC], b celle du côté [AC] et c celle du côté [AB].
On suppose b >= c.
1°) Discuter suivant les valeurs de p l'existence d'un tel parallélogramme
      - lorsque b = c
      - lorsque b > c.
2°) Proposer, lorsque le problème a une solution, une construction du parallélogramme à la règle non graduée et au compas.

CAEN:
Exercice 1
Dans un certain pays, l'état emploie 3 millions de fonctionnaires dont les salaires mensuels, exprimés en euros, peuvent être classés ainsi :
[ 900 ; 1200 [  :  30 %
[ 1200 ; 1600 [  :  50 %
[ 1600 ; 3000 ]  :  20 %
On peut de plus considérer que, dans chaque classe, la répartition est uniforme.

Le gouvernement envisage la mesure suivante : tous les salaires seront augmentés de 2 % mais une taxe de solidarité de 10 % sera imposée sur la tranche du nouveau salaire dépassant un niveau p appelé plafond social.
Le rapporteur du projet ne se souvient plus de la valeur exacte de p mais signale que seuls les salaires supérieurs, avant modification, à 1800 ? subiront une certaine baisse ... solidarité oblige ! Il précise qu'un salaire de 1800 ? sera inchangé.

1°) Quelle est la valeur de p ?

2°) Si un salarié A gagne moins qu'un salarié B, est-il possible qu'après la réforme A gagne plus que B ?

3°) Si la mesure est appliquée, quel sera, à l'issue du premier mois, le bilan pour l'état ? ( on pourra comparer la dépense occasionnée par l'augmentation des salaires et la recette correspondant au produit de la taxe de solidarité ). 

Exercice 2
Trois boules de pétanque d'un diamètre de 6 cm sont posées l'une contre l'autre sur un plan horizontal.
1°) Quel est le diamètre minimal du cochonnet disposé entre ces trois boules pour qu'il ne tombe pas entre celles-ci ?
2°) Quel est le diamètre du cochonnet disposé entre ces trois boules pour que l'on puisse poser au-dessus une planche
      en contact avec les trois boules et le cochonnet ?
3°)  Quel est le diamètre du cochonnet disposé entre ces trois boules pour que l'on puisse poser au-dessus une quatrième
       boule en contact avec les trois premières boules et le cochonnet ?

CRETEIL:
Exercice 1:
Le parasol.
A une terrasse de café, sous un parasol moderne aux tiges en bois bien droites, par un bel après-midi ensoleillé, Yves et quelques-uns de ses camarades de classe parlent du devoir à la maison qu'ils doivent rendre prochainement. Ce devoir de mathématiques a pour objectif de trouver, le nombre de solides réguliers dans l'espace.

B) Puis Yves revient au problème et développe son idée  :
Un solide de l'espace est régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques. Par exemple un cube est un solide régulier à faces carrées.
(1) Si un polygone régulier a n sommets (n > 2), chaque angle au sommet mesure  radians.
On sait que l'angle formé par deux arêtes consécutives est égal à chacun des angles au sommet des polygones réguliers constituant les faces du solide et que les extrémités des arêtes issues d'un même sommet sont, comme celles des tiges du parasol, toutes dans un même plan et forment un polygone régulier.
En notant p,  le nombre d'arêtes issues d'un des sommets d'un solide régulier dont les faces ont  n côtés*,  on a alors p > 2 et on peut montrer que

(3) Alors on en déduira facilement  le nombre  maximum de solides réguliers que l'on pourrait avoir dans l'espace.
(4) et en fonction des valeurs trouvées pour n et p on pourra reconnaître quelques-uns de ces solides.
    Démontrer les affirmations (1) ; (2) ; (3) et (4).   (Par exemple, pour le cube p = 3 et n =4.)

Exercice 2:
Après de multiples péripéties une archéologue a été abandonnée par un faux guide, évanouie et dévalisée à l'intérieur d'une pyramide. A son réveil, elle se retrouve seule, dans une immense pièce entourée de quatre cents portes fermées, numérotées de 1 à 400. Elle découvre près d'elle un papyrus indiquant qu'une seule porte permet d'en sortir, les autres  donnant dans des couloirs piégés. Ce papyrus donne aussi le moyen de trouver la bonne porte : 
Sachant qu' « Actionner une porte »  c'est «  la fermer si elle est ouverte, l'ouvrir si elle est fermée », suivre les instructions suivantes :
Etape 1 : ouvrir toutes les portes
Etape 2 : actionner les portes dont les numéros sont multiples de 2. Ici cela revient à les fermer.
Etape 3 : actionner celles dont le numéro est un multiple de 3.
Etape 4 : actionner celles dont le numéro est un multiple de 4.
Etape 5 : actionner celles dont le numéro est un multiple de 5.
Et ainsi de suite.
A la fin de toutes les étapes sortir par la dix-septième porte ouverte. L'archéologue férue de mathématiques réfléchit un instant et se dirige sans hésitation vers la bonne porte.  A la fin de toutes les étapes :
1)   Préciser la position ( ouverte ou fermée ) de chacune des 5 premières portes.
2)   Que dire des positions des portes numérotées 24, 25, 27, 36 et 40 ?
3)   Quelle conjecture peut-on faire sur le numéro des portes qui sont ouvertes ?
4)  Quel est le numéro de la porte qui lui a permis de sortir ?
5)  Comment l'archéologue a-t-elle fait pour le trouver ?

DIJON:
Exercice 1
Sur la planète "Mathématic", les années ont toujours 365 jours et les mois
ne peuvent avoir que 28, 30 ou 31 jours.
1. Montrer qu'une année "Mathématicienne" comporte toujours douze mois.
2. Donner toutes les décompositions possibles d'une telle année en nombre de
mois de 28, 30 et 31 jours.

Exercice 2
Dans cet exercice, on utilisera sans démonstration le résultat suivant :
Dans tout triangle ABC,
                                                    

Dans un triangle ABC, la hauteur, la bissectrice et la médiane relatives au
sommet A partagent l'angle BAC en quatre angles de même mesure alpha.
1. Exprimer en fonction de alpha les mesures de tous les angles de la
figure.
2. Quelles sont les mesures des angles du triangle ABC ?
 

LIMOGES:
Exercice 1:
Le nombre 60 a pour carré 3600 ; si on enlève les deux derniers chiffres de ce carré, on obtient le nombre 36 qui est lui-même un carré ;
ceci est valable si on remplace 60 par n'importe quel nombre divisible par 10.
Le nombre 31 a pour carré 961 ; si on enlève les deux derniers chiffres de ce carré,
on obtient le nombre 9 qui est lui-même un carré, on peut donc écrire : 31 ² = 3 ² x10 ² + 61. 
Trouver tous les nombres entiers non multiples de 10,  tels que si on enlève les deux derniers chiffres du carré, on obtient encore un carré.

Exercice 2:
Au triplet (a, b, c) de nombres réels on fait correspondre le triplet (a+b, b+c, c+a) et on réitère le procédé.
Par exemple avec (2, -1, 0.5), on trouve successivement (1, -0.5, 2.5) (0.5, 2, 3.5) (2.5, 5.5, 4).
Est-il possible, au bout d'un certain nombre d'opérations, de retrouver le triplet de départ ? Au bout de combien d'opérations ? 

MONTPELLIER:
Exercice 1:
Quatre couples se retrouvent chez M et Mme Dupond. Embrassades et poignées de mains sont échangées sauf entre les époux.
Mme Dupond demande a chacun ainise qu'à sa femme combien il (ou elle) a serré de mains et il obtient sept réponses différentes.
Combien Mme Dupond a-t-elle serré de mains? 

Exercice 2:
ABC est un triangle quelconque.
I est un point du sgment [AC]
Déterminer puis construire le ou les points J de (BC) tels que la droite (IJ) partage le triangle en deux parties de même aire. 

NANCY-METZ:
Exercice 1:
 Déterminer toutes les suites  d'entiers naturels impairs consécutifs dont la somme est égale à 2004.

Exercice 2:
ABCD est un carré de côté 1. A partir de du milieu des côtés de ce carré ABCD, on construit la figure ci-dessous.

1) Justifier que l'on a construit un petit carré à l'intérieur du carré ABCD. Quelle est la longueur de son côté?
2) Dans la suite, on procède au même découpage des carrés ainsi construits et à chaque étape on colorie les quatres petits triangles formés,
    comme indiqué sur la figure ci-dessous.
     
   Montrer que l'aire de la partie colorée tend vers un quart de l'aire du carré ABCD lorsqu'on poursuit indéfiniment cette construction.
 

PARIS:
Exercice 1 :
On considère le tabeau suivant, dont la première colonne est constituée des termes d'une suite arithmétique
de raison 3 (et de premier terme 4) et dont les lignes sont formées des termes de suites arithmétiques
de raison un entier impair : 3, 5, 7, 9, ...

Exprimer en fonction des entiers non nuls m et n le nombre situé sur la m-ième ligne et la n-ième colonne du tableau.
Prouver que si le nombre entier N figure dans le tableau, alors l'entier 2N + 1 n'est pas premier.
Peut-on affirmer que si N > 0 ne figure pas dans le tableau, alors 2N + 1 est premier ?

Exercice 2 :
Le terrain de jeu est un plan horizontal contenant les points distincts A et T.
La balle, frappée au point A dans le but de tomber dans le trou placé en T, se déplace dans un plan vertical et sa trajectoire (P) est un arc de parabole ou plusieurs arcs de parabole en cas de rebond(s). L'angle aigu que forme la tangente à (P) en A avec la droite (AT) est toujours de 45°. En cas de rebond en un point B, les angles aigus formés par les tangentes à (P) en B avec la droite (AT) ont la même mesure et la hauteur atteinte par la balle après le rebond est la moitié de la hauteur précédemment atteinte donc, à chaque rebond, la balle "perd la moitié de sa hauteur". Chaque fois que la balle est frappée, elle atteint une hauteur maximale qui varie en fonction de chaque joueur et de la frappe de celui-ci.
Le but de cet exercice est de montrer que la réussite de ce jeu dépend uniquement de cette hauteur maximale qu'on notera h.

Sachant que la balle tombe en T sans rebond avec h = 30 m, déterminer AT.
La balle tombe en T après un unique rebond en un point A₁. Calculer AA₁.
La balle tombe en T après n rebonds. Calcule h en fonctin de n.
si h = 15 m, la balle peut-elle tomber en T ?
On suppose    et on note r le rapport      .
A quelle condition, portant sur r, la balle atteint-elle nécessairement le trou T et quel est alors le nombre de rebonds ?  

POITIER:
Exercice 1:
On peut relier les sommets d'un quadrilatère ABCD par des traits tracés en continu ou en pointillés de telle sorte qu'aucun des 4 triangles ayant ses sommets parmi les points A,B,C et D ne soit constitué de traits de même nature.

Réaliser un tracé analogue dans le cas d'un pentagone, c'est à dire un tracé dans lequel aucun des triangles ayant ses sommets parmi les sommets du pentagone ne soit constitué de traits de même nature.
Un tracé analogue est-il possible dans le cas d'un hexagone ?

Exercice 2:
Soit a une suite de 9 entiers constituée des enties 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 pris dans un certain ordre.
Chaque entier de 1 à 9 apparaît une fois et une seule dans la suite a .
On note a₁ le premier élément de a, a₂ le deuxième élément de a , ...a₉ le neuvième élément de a.
On pose S(a) = | a₁ - a₂ |  + | a₂ - a₃ | + ... +  | a₇ - a₈ |   +   | a₈  - a₉ |

Calculer S(a) lorsque a = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 )
Calculer S(a) lorsque a = (1 , 9 , 2 , 8 , 3 , 7 , 4 , 6 , 5 )
Montrer que S(a) + | a₉ - a₁| peut s'écrire sous le forme c₁a₁ + c₂a₂ + c₃a₃ +.... + c₉a₉
où les coefficients c₁ , c₂.......c₉ sont égaux  à -2 , 0 ou 2.
On appelle k le nombre de coefficient ₁ , c₂.......c₉ égaux à 2 et on appelle k' le nombre de coefficient ₁ , c₂.......c₉ égaux à -2.
Montrer que k = k '.
Trouver la valeur maximale de S(a).
On pourra commencer par majorer, en fonction de k, la quantité S(a) + | a₉ - a₁|

REIMS:
Exercice 1
La carte restante.
On réalise la manipulation suivante avec une pile de n cartes numérotées de 1 à n, la carte du dessus portant le numéro 1, la suivante le numéro 2, etc.
On prend la première carte de la pile, on la met à la dernière place de la pile, on prend la carte suivante et on la retire du jeu, on renouvelle ces opérations jusqu'au moment où il ne reste plus qu'une carte dans le paquet.

On se demande quel est le numéro de la carte restante.

Répondre à la question si n est une puissance de 2, puis dans le cas général.

Quelles sont les valeurs de n telles que la carte restante porte le numéro treize ?

Exercice 2
Les bougies.

Vous souhaitez acheter n bougies, et les utiliser selon le programme suivant :

-      Le premier soir, vous faîtes brûler une bougie pendant une heure ;

-      Le second soir, vous faîtes brûler deux bougies pendant une heure et ainsi de suite jusqu'à ce que

-      Le n-ième soir, vous faîtes brûler les n bougies pendant une heure.

Vous voulez qu'au terme de cette heure de combustion du n-ième soir, toutes les bougies soient entièrement consumées.

Donner une condition nécessaire sur n et sur la durée de combustion d'une bougie pour que ce programme soit réalisable.

Si cette condition est vérifiée, montrer que le programme est réalisable en donnant une méthode de choix des bougies à faire brûler chaque jour. 

RENNES:
Exercice 1:
Le grand mathématicien suisse Léonhart Euler est né à Bâle le 15 avril 1707. Il meurt plus d'un demi-siècle plus tard à Saint Pétersbourg en laissant une ouvre mathématique considérable. Dans une vie qui a duré moins d'un siècle il aura eu le temps de s'intéresser à l'analyse (l'essentiel de ses travaux), à l'algèbre, à la géométrie, à la théorie des nombres, aux probabilités sans parler de la physique et de la philosophie auxquelles il a consacré quelques articles.
Il meurt un 18 septembre à un âge qui n'est divisible ni par 3, ni par 5 ni par 7.
L'année qui suit sa mort est une année bissextile dont la somme des chiffres est divisible par 5.
A quel âge est mort Euler ? Quel jour de la semaine ?
Rappel :
    *Sont bissextiles les années divisibles par 4 à l'exception des années multiples de 100 et non divisibles par 400.
    *Une anné normale a 365 jours et une année bissextile 366.

Exercice 2:
Des personnes habitant des lieux différents souhaitent se rencontrer.
On cherche le lieu de rendez-vous permettant que la somme des distances entre le lieu de résidence de chaque personne et le point de rencontre soit minimale.
On représente les n personnes par n points du plan.
1-Où doit se situer le lieu de rendez-vous lorsque les n points sont alignés ?
2-Dans le cas où n = 3 et les trois points sont non alignés, où doit-il se situer ?
3-Dans le cas où n = 4 et les quatre points sont non alignés, peut-on le déterminer ?
 

TOULOUSE:
Exercice 1:
Vous reconnaîtrez dans cette carte de 11 départements du Sud-Ouest de la France, repérés par leur non et leur numéro.
L'objectif est de colorier cette carte par département à l'aide des couleurs Rouge, Jaune et Bleu, couleurs à indiquer par les initiales R,J et B, et ceci en respectant la règle des cartes géographiques:
                Deux départements voisins doivent être coloriés à l'aide de deux couleurs différentes.
Par exemple, (64) et (62) sont voisins et doivent donc être coloriés à l'aide de couleurs différentes, alors que (40) et (65) ne le sont pas et peuvent donc être cloriés à l'aide de la même couleur.
Attention : le département (82), délimité partiellement en pointillés sur la carte ci-dessous, n'est à prendre en compte que pour la question 4.

1) Colorier la carte de 10 départements avec les trois couleurs en respectant la règle.
2) a) Démontrer que les Landes et les Hautes-Pyrénées sont nécessairement coloriés de la même couleur.
     b) Qu'en est-il de l'Ariège et du Tarn?
3) Combien y-a-t-il de façons différentes de colorier la carte de 10 départements à l'aide des trois couleurs en repectant le règle?
4) On s'intéresse dans cette question à la carte de 11 départements (avec le Tarn-et-Garonne repéré par le numéro 82).
     A quelle condition, portant sur les coloriages précédents de la carte de 10 départements, peut-on colorier cette carte de 11 départements
     à l'aide des trois couleurs et en respectant la règle?
     Combien y-a-t-il de coloriages possibles de la carte de 11 départements?

Exercice 2:
La suite de chiffres (1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 1 ; 8 ; 9 ; 7 ; ....) est obtenue comme suit:
   i) on choisit deux chifffres comme premiers termes (ici, 1 puis 3 )
  ii) à partir de troisième terme, on écrit, en suivant, le chiffre des unité de la somme des deux premiers termes précédents.
       (par exemple , 4 + 7 = 11 ; ainsi le chiffre 1 succède à 4 et 7).
Ceci détermine une suite de chiffres.
1) Montrer que cette suite est périodique et déterminer sa période.
2) On s'intéresse aux suites définies de cette manière à partir d'un couple quelconque de deux chiffres comme premiers termes.
     Chaque couple détermine une suite.
     a) Montrer que le donnée de deux termes consécutifs de la siute quelconque a et b d'une telle suite détermine complètement
          les termes suivants et également ceux qui précèdent.
      b) Quels sont les deux premiers termes de la suite obtenue par les procédés i) et ii) et telle que le 2003^e terme vaut 6 et le 2004^e vaut 8?
3) Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la suite, celle-ci est périodique.

VERSAILLES:
Exercice 1:
Un entier n > 2 est académique si on peut répartir les entiers 1 , 2 , .. , n en deux groupes disjoints S et P, de sorte que la somme des nombres du groupe S est égale au produit des nombres du groupe P.
Exemple:
Le nombre 7 est académique car 2 + 4 +5 + 7 = 1x3x6.

Prouver que n = 4 n'est pas académique.
a: Le nombre 5 est-il académique ?
b: Le nombre 6 est-il académique ?
Prouver que, pour tout entier n > 7, le nombre n est académique.

Exercice 2:
On considère un entier n > 3.
      Dans un tournoi de n nations, chaque nation joue avec les n-1 autres.
      Le classement se fait selon le nombre de matchs gagnés (un match ne pouvant être que gagné ou perdu).
      En cas d'égalité, le classement se fait en regardant le nombre de points marqués.
      Faire le grand chelem, c'est gagner tous ses matchs. Obtenir la cuillère de bois, c'est perdre tous ses matchs.

 Existe-t-il des tournois pouvant donner ces scores:
 

2. Démontrer que les entiers n pour lesquels il existe un tournoi où le vainqueur a autant de victoires que de défaites sont les entiers impairs.
3. Pour quelles valeurs de n existe-t-il un tournoi où le second compte plus de défaites que de victoires ?
4. Pour quelles valeurs de n, existe-t-il des tournois où l'on peut faire un classement des trois premiers sans avoir à regarder le nombre de points marqués?
5. Pour quelle valeur minimale de n existe-t-il des tournois où l'on peut faire un classement des trois premiers sans avoir à regarder le nombre de points marqués, sachant qu'il n'y a pas eu de grand chelem?

Si vous avez un exercice académique non-présent dans cette liste, faites-le nous parvenir.
Pour cela, utilisez l'adresse suivante : olympiades@maths-express.com
Merci d'avance.

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