Correction Olympiades Académiques 2004
Exercice National I:
Une petite
étude avant de commencer!
u et v sont échangeables
s'il existe deux réels a et b tels que
Ceci conduit à
Ou encore:
Ou encore:
Comme u et v sont distincts, la condition s'écrit
simplement:
"Il existe a et b réels
tels que 
"
1: Pour u = 2 et v = 3, on a
alors
On vérifie sans problème
que la seule solution b est b = -2 ce qui donne a
= 3.
La fonction f est :
On a bien f(2) = 3 et f(3)
= 2.
2: Pour u = 4 et v = 7, l'équation
n'admet pas de solution.
Donc 4 et 7 ne sont pas échangeables.
3: Une rapide étude de l'équation
montre qu'elle ne peut avoir de solution que si u et v sont
deux entiers consécutifs
Exercice 2:
Le
plus simple est voir directement que la sommes des polygônes
BRS , RST , ART et CSTD est égale à l'aire du rectangle
ABCD!
De plus, on a les égalités suivantes:
- RS = RA = x , AT = ST = y , BR = 4- x , DT = 6 - y
- RT ² = x² + y² ,
BS² = x² - (4-x)²
= 8x - 16 , CS = 6 - BS =
D'où, les aires de BRS , RST , ART et CSTD:
De Aire(ART) + Arire(RST) + Aire(BSR) + Aire(CSTD) = 24, on obtient alors, après simplication:
, d'où, pour x > 2 , 
Comme 0 < y < 6 , l'égalité
ci-dessus montre alors que la valeur minimale de x est :
D'où 
De plus, l'aire de SRT est, toujours en utilisant l'égalité (1)
L'étude des variations de cette fonction montre qu'elle admet
un minimum en (8/3).
L'aire minimale est alors
Et le calcul des AT , AS et ST montre que le triangle
AST est équilatéral.