Les deux Exercices communs des Olympiades 2006

1: Soit A un point de l'axe des abscisses tel que OA = 5. Déterminer les valeurs possibles de L(A).
2: Soit B le point de coordonnées (2005 ; 2006). Déterminet L(B).
3: Déterminer les coordonnées du point C tel que L(C) = 2006.
4: La "spirale" passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan?

Exercice 2:
1: On prend une feuille de papier de 21cm de large et 29,7cm de long. (Format A4)
   On forme un cylindre en roulant la feuille de papier et en faisant coïncider deux bords opposés.
   En faisant de même avec les deux autres bords opposés, on obtient un autre cylindre.
   Les deux cylindres ont-ils le même volume?
2: Dans une feuille de papier de format A4, on enlève deux triangles de même dimension selon la figure
    ci-dessous.

 
    Si on roule la feuille restante bord à bord, on obtient un premier cylindre (n°1).
    Si on la roule en faisant coïncider les autres bords, on obtient un second cylindre (n°2).
    Trouver la ou les valeurs de x (en cm) pour que les deux cylindres ainsi obtenus aient le même volume. 

Amiens:
Exercice 1:
ABCD est un quadrilatère convexe quelconque.
I ,J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB] , [BC] , [CD] et [DA].

Où doit-on placer un point O tel que les quadrilatères OIAL, OJBI, OKCJ et OLDK aient la même aire ?

Exercice 2:
Prouver que parmi cinq nombres réels positifs donnés on peut trouver deux réels a et b tels que
 
                                        
Bordeaux:
Exercice 1:
Pour n entier naturel, on désigne par P(n) le produit des chiffres intervenant dans l'écriture décimale de n.
Par exemple: P(5) = 5   ,   P(45) = 4 x7 = 28.
On se porpose de déterminer tous les entiers vérifiant : P(n) = n² + 1002n - 2006.
1 : Déterminer tous les nombres qui s'écrivent avec un seul chiffre et solutions du problème.
2: Démontrer que, si k est le nombre de chiffre de n , alors P(n) < 9^k et 10^k-1 < n.
    En déduire l'encadrement suivant : 10^2k-2 + 1002x10^k-1 - 2006 < P(n) < 9^k .
3: Le problème a-t-il des solutions s'écrivant avec 2 chiffres?
4: Conclure.

Exercice 2:
ABCD est un carré inscrit dans un demi-cercle de centre O dont le côté [CD] est porté par le diamètre.
(Voir figure ci-dessous).
1: Démontrer que la médiatrice de [CD] passe par O.
2: Donner une construction à la règle et au compas du carré ABCD connaissant le point O et le demi-cercle
    de centre O.
3: Soit HIJC le carré construit dans l'indique la figure.
   Donner une construction à la règle et au compas de ce carré.
4: On désigne par a et b les mesures respectives des côtés des carrés ABCD et HIJC.
   (a) Montrer que a² = 2b² + ab
   (b) Combine vaut le rapport (a/b) ?
   (c) Le cercle de centre C et de rayon CE passe-t-il par le centre du acrré ABCD?
   (d) Quelles sont les valeurs de a et b si le rayon du demi-cercle est 1 ?
         Dans ce cas, déterminer les mesures des côtés des carrés EFGH et  MNPQ représentés sur la figure.

Caen:
Exercice 1: On rappelle que deux rectangles sont semblables s’ils ont le même rapport .
(On convient comme d’habitude que la mesure de la longueur est toujours supérieure ou égale
à celle de la largeur).
On dispose d’une feuille rectangulaire de dimensions L et l, avec L > l.
Un des axes de symétrie est horizontal, l’autre est vertical.
On plie cette feuille suivant son axe vertical (opération p₁), puis suivant l’axe horizontal du rectangle
obtenu (opération p₂), puis suivant  l’axe vertical du nouveau rectangle (opération p₃), et ainsi de suite en
alternant pliage suivant la verticale et pliage suivant l’horizontale et en notant p_n la n^ième opération.
Si l’on déplie la feuille après avoir effectué un certain nombre de pliages, on constate que l’on a obtenu
un pavage par des rectangles.

1:  Combien le pavage comporte-t-il de rectangles après avoir effectué les opérations p₄ ? p₇ ? p_n ?
2:  Montrer que, si n est pair, tous les rectangles du pavage sont semblables au rectangle de départ.
3:  Est-il possible d’obtenir un pavage par des carrés ?
4:  Est-il possible qu’après chaque opération p_n on obtienne un pavage par des rectangles tous semblables
     au rectangle de départ ?

Exercice 2:La spirale du chien
Un chien est attaché par une laisse d’une longueur de 10 mètres en un point F d’un poteau cylindrique de
diamètre 2 mètres.
Le chien circule en gardant en permanence sa laisse tendue et on suppose qu’il se déplace en tournant autour
du poteau dans
le sens inverse des aiguilles d’une montre (pour un observateur regardant la scène du dessus).
On suppose aussi que le sol est plan, que l’axe du poteau est perpendiculaire à ce plan.
On assimilera le chien à un point situé dans le plan du sol. On supposera que le point F est aussi dans ce plan
et on appellera O le point de l’axe du poteau situé dans ce plan. On appelle D la position initiale du chien.
On suppose que D est sur la demi-droite [OF).
Lorsque le chien circule, sa laisse, qu’on suppose sans épaisseur, s’enroule autour du poteau.
1: Faire un dessin soigné à l’échelle 1/100^ème. On fera figurer sur ce dessin les positions du chien :
• C₁ lorsque sa laisse devient pour la 1^ère fois perpendiculaire à sa direction initiale
• C₂ lorsque sa laisse devient pour la 1^ère fois parallèle à sa direction initiale
• C₃ lorsque sa laisse devient pour la 2^ème fois perpendiculaire à sa direction initiale
• C₄ lorsque sa laisse devient pour la 2^ème fois parallèle à sa direction initiale.
On indiquera dans chaque cas la longueur libre de la laisse.

La droite (OF) partage le plan en deux demi-plans. On appelle (P1) le demi-plan dans lequel s’engage le
chien lorsqu’il quitte sa position de départ et (P2) l’autre demi-plan.
2:  On a tracé sur le sol une ligne de poudre blanche entre deux points M et N tous les deux situés dans le
     demi-plan (P1)  sur la perpendiculaire en F à (OF) et tels que FM = 4 m et FN = 9,5 m.
      Le chien risque-t-il de se blanchir la patte ?
3: Une flaque d’eau circulaire a pour rayon r = 0,3 m et pour centre le point G dans le demi-plan (P2) sur la
     perpendiculaire en  O à   (OF) tel que OG = 7 m.      Le chien va-t-il se mouiller la patte ?

Créteil:
Exercice 1:
Partant en voyage en voiture, Isa et Josette croisent des bornes kilométriques indiquant la distance les séparant de Paris qu'elles lisent toutes les heures.

- à 10 heures, elles lisent une borne portant 2 chiffres;
- à 11 heures elles croisent une borne portant les 2 mêms chiffres mais inversés
- et à midi, elles lisent une borne portant les mêmes chiffres séparés par un zéro.
En supposant que la voiture roule à vitesse constante, quelle est cette vitesse?

Par la suite, la circulation s'étant dégagée, elles poursuivent leur viyage en se relayant au volant et en s'accordant une pause toutes les 3 heures.
Toutes les 3 heures, elles croisent successivement des panneaux à 3 chiffres :abc , bca et cab.
En supposant que sur chaque période de 3 heures, la vitesse moyenne est la même, quel est le kilométrage indiqué sur le dernier panneau rencontré?

Exercice 2:
Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur.
Déterminer l'angle

Dijon:
Exercice 1:"sur le toit"
Un radio amateur place un mât d'antenne sur le toit rectangulaire de son garage à l'endroit où il fournit la meilleure réception (on suppose que ce mât est orthogonal au plan du toit). Il fixe alors ce mât par des câbles rectilignes en
fil de fer qui vont de la cime jusqu'aux coins du toit selon le schéma ci-dessous.
Sur ces quatre câbles, deux câbles non consécutifs mesurent 7 mètres et 4 mètres, un troisième mesure 1 mètre.
Quelle est la longueur du dernier câble ?

Exercice 2: " les licornes"
Dans l'île mystérieuse, vivent depuis toujours b licornes bleues, r licornes rouges et v licornes vertes.
Un mal étrange vient frapper l'île : dès que deux licornes de couleurs différentes se rencontrent, elles
changent toutes les deux de couleur et prennent la couleur restante.
Le but de ce problème est d'étudier la possibilité que, sur cette île, les licornes deviennent unicolores.

1. Montrer qu'une telle issue est possible dans chacun des cas suivants :
     a) b = r ou b = v ou r = v.
     b) r = b+3 et v > 0.
     c) r = b+3k, où k est un entier naturel inférieur à v.

2. Dans cette question, on suppose que : b = 1, r = 2, v = 3. Une telle population peut-elle devenir unicolore ?

3. On suppose que n rencontres ont eu lieu depuis le début du mal, à quelle condition nécessaire et suffisante sur b, v, r, la population des licornes peut-elle devenir unicolore ?

Grenoble:
Exercice 1:
1: Déterminer le plus grand entier k tel que 3k divise le produit 1x 2 x 3 x ..... x 28 x 29 de tous les entiers de 1 à 29

2: Même question dans le cas de produit 1 x 2 x 3 x ..... x 2005 x 2006 de tous les entiers de 1 à 2006

Exercice 2:
Sur ce modèle réduit, la distance entre les axes des 2 hélices de même longueur et qui tournent dans un même
plan est supérieure à la longueur d'une hélice. Les hélices peuvent tourner de façon indépendante sans se heurter

Cette fois, la distance entre les axes des 2 hélices est inférieure à la demi-longueur d'une hélice.
Les hélices vont nécessairement se heurter

Et si la distance entre les axes des 2 hélices est comprise entre la demi-longueur et la longueur d'une hélice?
Il s'agit, dans cet exercice, de savoir, dans un cas particulier, s'il est possible de faire tourner les 2 hélices dans
le même sens et à la même vitesse sans qu'elles se heurtent.

L'unité est le centimètre.
A et B sont 2 points tels AB = 10.  Deux segments [A₁A₂] et [B₁B₂] de longueur 14 ont pour milieux respectifs A et B.
Leur position initiame est indiquée ci-dessous. [B₁B₂] est inclus dans (AB) et [A₁A₂] est perpendiculaire à (AB).

On les fait pivoter autour de leurs centres d'un même angle orienté.
(voir la figure ci-dessous qui illustre un cas particulier)

1 : Quel est l'ensemble des positions du point d'interscetion H des droites (A₁A₂) et (B₁B₂) quand
     les segments pivotent?
2: Les deux segments vont-ils se toucher?

Lille:
Exercice 1:
Antoine possède un nombre N, N supérieur à 10, de boîtes qu'il a numérotées dans
l'ordre de 1 à N. Il possède également 2006 jetons numérotés dans l'ordre de 1 à 2006.
Il décide de déposer les jetons dans les différentes boîtes :
Le jeton 1 dans la boîte 1, le jeton 2 dans la boîte 2, ..., le jeton N dans la boîte N.
Il continue en plaçant le jeton N+1 dans la boîte N-1, le jeton N+2 dans la boîte N-2, ...,
le jeton 2N-1 dans la boîte 1, puis le jeton 2N dans la boîte 2, etc.
Il va donc alternativement de la boîte 1 à la boîte N puis de la boîte N à la boîte 1?
A la fin, il constate que les jetons 847, 863 et 1473 sont dans la même boîte.

Dans quelle boîte se trouve le jeton 2006 ?

Exercice 2:
Soit ABC un triangle et G son centre de gravité.
On désigne par A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
Les points P, Q, R, S, T et U sont les centres de gravité respectifs des triangles
GAC', GBC', GBA', GCA', GCB' et GAB'.
Justifier l'égalité : PQ + QR + RS + ST + TU + UP = PS + QT + RU.
Calculer l'aire de l'hexagone PQRSTU en fonction de celle du triangle ABC.  

Marseille:
Exercice 1:
Soit un entier n supérieur ou égal à 5.
n équipes disputent un tournoi de football, chacune des équipes rencontrant une fois seulement chacune des autres.
Une victoire rapporte 3 points à l'équipe gagnante, 0 point à l'équipe perdante et un match nul rapporte 1 point
à chacune des équipes.
A la fin du tournoi, 3 équipes ont exactement 3 points.
Prouver que toutes les autres équipes, sauf peut-être une, ont au moins 8 points.

Exercice 2:
Léo possède une encyclopédie constituée de n tomes, où n un entier compris entre 5 et 20.
5 < n < 20.
Tous les tomes ont le même nombre de pages.
La numérotation de chaque tome commence à la page 1.
Toutes les pages sont numérotées.
Pour numéroter la totalité des n tomes, on a utilisé 2006 fois le chiffre 5.

De combien de tomes est constituée l'encyclopédie de Léo?
De combien de pages est constitué chacun des tomes?

Montpellier:
Exercice 1: Saine lecture!
Les pages d’un livre sont numérotées de 1 à 999.
Quel est le nombre total de chiffres écrits pour la pagination ?
Combien de fois le chiffre 7 a-t-il été utilisé ? Et le chiffre 0 ?

Exercice 2: Struggle for life.
Sur cette île chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et
chaque serpent tue un loup. Après dix jours il ne reste plus sur l’île qu’un mouton et aucun autre animal.
Combien y avait-il d’animaux de chaque espèce au départ ?

Nancy-Metz:

Exercice1:
1: Quelle est la longueur maximale du côté d'une table carrée que l'on puisse recouvrir entièrement par
    une nappe ronde de 1 mètre de diamètre?
2: On considère une table rectangulaire ABCD telle que AD = 0,5 mètre.

    Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser les milieux des segments [AB] et [CD]

                                             
     a) Montrer que si AB = mètre, alors on peut recouvrir la table avec deux nappes rondes de
         1 mètres de diamètre.
     b) Montrer que si AB > mètre, alors il n'est pas possible de recouvrir la table avec les deux nappes.

3: Quelle est la longueur maximale du côté d'un table carrée que l'on puisse recouvrir entièrement par deux nappes
    rondes de 1 mètre de diamètre ?

Exercice 2:
Les nombres entiers de 1 à 12 doivent être placés dans les douzes cases de l'étoile ci-dessous. La position
du nombre 12 est donnée.
Les nombres écrits à l'extérieur de l'étoile sont les produits des nombres placés dans les cinq cases de l'étoile
situées dans la direction de la fléche.

1: Quelle la seule case qui peut contenir le nombre 7 ? Justifier la réponse.
2: Quelles sont les cases possibles pour les nombres 5 et 10 ? Justifier la réponse.
3: Placer les nombres 1 et 9. Justifier la réponse.
4: Placer, sans justification, les autres nombres et reproduire l'étoile complétée.

Orléans-Tours:
Exercice 1:

ABC est un triangle isocèle (AB = AC) dont l'angle est obtus (). On prendra AB = 8cm.
Toutes les constructions demandées se feront à la règle et au compas.
On laissera apparentes les constructions intermédiaires.

1. Sur votre feuille, compléter le triangle ABC par deux points D , E de telle sorte que AB=BD=DE=EC,
   que la figure ABDEC admette pour axe de symétrie la bissectrice de l'angle et que les points D et A
   ne soient pas du même côté de la droite (BC).
   
   
2. En déduire la construction d'un pentagone AMNPQ dont les 5 côtés ont la même longueur et tel que le
   point M appartienne au segment [AB], les points N et P apartiennent au segment [BC] et le pont Q
   appartienne au segment [CA]. On expliquera et justifiera le construction.
   
3. On suppose que le pentagone ABDEC de la question 1. est régulier.
   Quelle est la valeur nécessaire de l'angle ? on note  cette valeur et on pose .
    (a) Montrer que cet angle est égal à l'angle dans le triangle ABC, et qu'il vérifie:
                                                   
    (b) On suppose que . Démontrer que le pentagone ABDEC est régulier

Exercice 2:
On rappelle qu'en écriture décimale le nombre A=3457 se "déchiffre" par l'égalité.
                          A = 3.10³ + 4.10² + 5.10¹ + 7
Pour chaque enntier n > 0, on note R_n le reste de la division euclidienne de 10ⁿ par 7, c'est à dire l'unique
entier R_n satisfaisant à 10ⁿ = 7q + R_n et  0 < R_n < 7 , q étant un entier.

1. Calculer R_n pour tous les entiers n < 7.
2. On indique que R₂₄ = 1. En déduire simplement R₂₅ puis R₂₆, R₂₇ etc .. jusqu' à R₃₁.
   Exprimer alors simplement R_n pour toute valeur n.
3. Soit a un entier et x l'entier a.10ⁿ.  Démonter que le reste de la division de x par 7 est le même que celui
   de la division par 7 du nombre a.R_n. 
4. Déterminer les eux plus petites valeurs de n telles que le nombre entier 3.10ⁿ - 1 soit divisible par 7.
   
5. A tout entier N on associe un nombre f(N) de la manière suivante: à partir de l'écriture décimale de N,
   on retire son premier chiffre et on le place à la fin de l'écriture obtenue.
   Par exemple, si N = 3547 alors f(N) = 5473   ou  si N = 10 alors f(N) = 01 = 1.
   On suppose que l'écriture décimale de N est N = a_na_n-1a_n-2......a₂a₁a₀.  
   (Les entiers a_k sont les chiffres du nombre N)
    (a) Montrer que N peut s'écrire 10ⁿ a_n + B où B est un nombre entier dont on précisera l'écriture
        décimale et que f(N) s'écrit 10B + a_n.
    (b) En déduire les deux plus petits nombres entiers  N tels que f(N) = 3N.
   

Paris:
Exercice 1:
Dans un tube fermé d'extrémités S et T de longueur L, sont placées 3 billes B₁, B₂ et B₃ qui ne peuvent
s'entrechoquer en glissant dans un sens ou d'antre l'autre à l'intérieur du tube.
A l'instant t = 0,
- La bille B₁ est en S et est lancée vers T à une vitesse v telle qu'elle parcourt la distance L en 1 minute.
- La bille B₂ est en T et est lancée vers S avec la même vitesse.
- La bille B₃ est placée, sans vitesse initiale, en un point A tu tube tel que SA = (1/3)ST
Lorsqu'il y a choc entre 2 billes, elles repartent chacune en sens opposés toujours avec la même vitesse v.
Lorsqu'une bille arrive en S ou en T, elle repart en sens inverse toujours avec la même vitesse.
On assimilera les billes à des points, on supposera qu'il n'y a aucun frottement et que les billes sont animées
de la même vitesse dans un sens ou dans l'autre.
La bille B₃ est frappée alternativement par B₁ et par B₂, et circule dans le tube à la vitesse v.
1: APrès 2006 chocs, combien de fois B₃ est-elle passée par le point A?
2: Après 2006 chocsn combien de fois la bille B₃ a-t-elle été frappé en A?
3: Quelle est la distance parcourue par la bille B₃ entre le 1^er choc et 2006^ème choc?

Exercice 2:
 2006 cartes sont numérotées de 1 à 2006. Elles sont mélangées et empillées. La carte au sommet de la pile
est placée sur la table, la suivante est placée sous la pile. Puis la carte suivante sur la pile est placée sur la
table à droite de la carte précédemment posée et la carte suivante sous la pile.
On continue ainsi jusqu'à ce que toutes les cartes soient aliognée sur la table.
On constate que les cartes alignées (de gauche à droite) dans l'odre 1 , 2 , .. , 2005 , 2006.
Au départ, combien de cartes étaient-elles empilées au-dessous de la carte 2005?

Reims:
Exercice 1:
L'année de ses 20 ans, un capitaine commence à économiser 100 euros le premier de chaque mois dès le mois de janvier.
Il essaie d'économiser chque année 10 euros de plus par mois que l'année précédente.
Cependant il s'est retrouvé au chômage une année entière coïncidant avec une année civil.
(Il n'a donc alors pas pu économiser).
De plus, l'année de reprise, il n'a pas pu mettre sur son compte épargne plus que l'année précédent son chômage.
Le 31 décembre 2047, il s'achète un bateau. Pour cela, il a besoin de tout l'argent qu'il a sur son compte d'épargne.
Celui-ci atteint un montant de 33 000 euros.

- Quel est l'âge du capitaine en 2047 ?
- A quel âge a-t-il été au chômage ?

Exercice 2:
Sur le courrier que vous recevez par la poste, vous avez peut-être remarqué une série de bâtonets de couleur
orange inscrits en bas à droite des enveloppes.
Il s'agit en fait d'un codage du code postal utilisé pour le tri automatique du courrier.

Le tableau ci-dessous vous montre 5 exemples de code postal avec leur codage en bâtonnets.
Examinez les attentivement afin de trouver quel le code postal représenta par la dernière série de bâtonnets.

Toulouse:
Exercice 1: l’incorruptible est-il honnête ?
Dans un certain état a eu lieu un scrutin parlementaire d’une grande importance.
Alors que le parti P1 l’a emporté d’une voix sur le parti P2, certains journalistes écrivent que
Monsieur I, surnommé « l’incorruptible », membre du parti P2, a voté P1, après que le parti P1
lui a offert une confortable somme d’argent. Une enquête est ouverte.
On interroge quatre parlementaires du parti P1, en posant deux questions à chacun, et l’on sait que
chacun des quatre a dit une fois la vérité et menti une fois.
Voici les quatre dépositions :
· M.A : aucun de nous n’est le trésorier des fonds secrets du parti. M.I a reçu l’argent de M.B
            qui le tenait de M.D ;
· M.B : l’argent a été reçu par M.I. M.I est le trésorier des fonds secrets ;
· M.C : la deuxième réponse de M.A est vraie. La deuxième réponse de M.B est vraie ;
· M.D : M.I n’a pas reçu d’argent de notre parti. Je le sais puisque je suis le trésorier des fonds secrets.

Questions :
M.I a-t-il été corrompu par le parti P1, et dans ce cas, qui lui a remis l’argent?
L’un des quatre parlementaires qui ont déposé est-il le trésorier des fonds secrets du parti P1,
et si oui, lequel? 

Exercice 2:
L'objectif est de raccorder des portions de route rectilignes à sens unique par des virages en arcs de cercles.
Bien sûr, pour être roulable, le trajet obtenu doit être "lissé", c'est à dire sans point anguleux!

Les nombres indiqués sur certains des tracés proposés représetent des distances en centaines de mètres.
Dans tous les tracés, on devra relier le point A au point B à l'aide d'arcs de cercle et uniquement d'arcs de
cercle.

Exemple : le tracé T₁ :

1: On essaie de tracer un virage joignant A et B à l'aide d'un seul arc de cercle.
    (a) Décrire et représenter une solution convenable pour relier A et B dans T₁ et calculer la longueur du
          virage.
    (b) Existe-t-il un virage à un seul arc pour le tracé T2 ci dessous? Justifier la réponse

                                                   T₂ :

2: On utilise maintenant, si l'on veut, deux arcs de cercles contigüs; mais bien sûr, le tracé doit toujours être
     "lissé".

                                    
     (a) Comment obtenir deux solutions à deux arcs contigüs et de même rayon pour le tracé T₂ ?
     (b) On considère enfin le tracé T3 ci-dessous. Existe-t-il une solution avec un seul arc de cercle?
           Construire plusieurs solutions avec deux arcs contigüs et comparer les longueurs totales des virages
                                                            .

Versailles:

Exercice 2:
On considère un polygone régulier convexe à 1 000 sommets, chacun étant coloré soit en rouge, soit en vert,
soit en bleu. Une opération consiste à choisir deux sommets consécutifs n’ayant pas la même couleur et à les
recolorer en attribuant à chacun la troisième couleur.

1. Prouver que, quelle que soit la coloration initiale et à l’aide d’un nombre fini d’opérations successives,
   il est possible de se ramener à une coloration des 1 000 sommets qui n’utilise pas plus de deux
   couleurs.
2. Un bloc est un ensemble de quatre sommets consécutifs. Si ces quatre sommets sont de la même
   couleur, on dit que le bloc est monochrome.
   a. Prouver que tout bloc peut être transformé en un bloc monochrome à l’aide d’un nombre fini
       d’opérations, et ce, sans modifier la couleur des sommets qui ne sont pas dans le bloc considéré.
   b. Prouver que, si deux blocs monochromes sans sommet commun sont consécutifs, on peut échanger
       leurs couleurs en un nombre fini d’opérations.
   c. Prouver que l’on dispose sur les blocs monochromes d’une opération analogue à celle définie sur
       les sommets.
   d. Prouver que, quelle que soit la coloration initiale et à l’aide d’un nombre fini d’opérations
       successives, il est possible de se ramener à une coloration des 1 000 sommets qui n’utilise
       qu’une seule couleur. 

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