Olympiades 2006 Exercice 1 Versailles

Rien n'empêche de poser que a = 1 .
On se place alors dans le repère

Le point O centre du triangle équilatéral ABC a alors pour coordonnées (1/3 ; 1/3)

D'une façon générale, soit M un point de la droite (AB)et N un point de la droite( AC) tels que O soit sur la droite (MN).

Les coordonnées du point M sont de la forme (x  ; 0) et ceux du point N de la forme (0 ; y)

Le vecteur a pour coodonées (1/3 - x ; 1/3).
Le vecteur   a pour coordonées (1/3 ; 1/3 - y)

On sait que ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si (1/3 - x)(1/3 - y) - 1/9 = 0.

Ce qui donne : (1-3x)(1-3y) = 1  ou encore :

Le point N appartient au segment [AC] si et seulement si  0 <  y <  1
Ce qui donne x = 0 ou 1/2 < x < 1.

(Dans le cas général de a quelconque, ceci se traduit par x = 0 ou a/2 < x < a.)

On sait alors que l'aire du triangle AMN est :

L'angle en A est fixé, donc S(x) est maximale ou minimale si et seulement si AM x AN l''est.

Donc, tout est dans l'étude da la fonction f définie par :
sur l'ensemble I = [1/2 ; 1] U {0}

On a, bien sûr ,  f(0) = 0
et un simple calcul de dérivée montre que f est décroissante sur [1/2 ; 2/3] puis croissante sur [2/3 ; 1].

On remarque alors que f(1/2) = f(1) =  1/2  et  que f(2/3) = 4/9.

f admet donc un maximum  sur [1/2 ; 1] en 1/2 ou 1 et ce maximum est 1/2.
f admet donc un minimum sur [1/2 ; 1] en 2/3 et ce minimum est 4/9.

Donc, si on ne considère pas le cas où x = 0 , c'est à dire M = A , on peut dire que le maximum de S(x)
est atteint pour x = 1/2 ou 1, et le minimum de S est atteint pour x = 2/3.

Ramener au cas général de a quelconque, cela signifie que S(x) est maximal pour x = (1/2)a ou x = a.
Et S(x) est minimal pour x = (2/3)a  ........ En considérant que le cas x = 0 ne présente aucun intérêt.....

Remarquons que pour x = 2/3 , on a y =  2/3 ......Donc la droite (MN) est parallèle à la droite (BC).