Correction Exercice 1 National 2007

1°) On étudie les répartitions successives obtenues à partir de la répartition (7).

Après 7 manipulations, on obtient la même répartition que celle qu'on a obtenue après 3 manipulations.
Donc après 7 manipulations, on n'obtiendra plus que des répartitions qu'on a déjà obtenues :
la 7^ème est la même que la 3^{ème    ,}   la 8^ème est la même que la 4^ème
la 9^ème est la même que la 5^{ème    ,}   la 10^ème est la même que la 6^ème.
Donc la 11^ème est la même que la 7^ème soit (4,2,1).

La suite des répartitions est donc périodique avec une période de longueur 4.
Or 2007 = 3 + 501 × 4.
Par conséquent, après 2007 manipulations, on obtiendra la même répartition qu'après la 3^ème manipulation soit encore une fois (4,2,1).

2°) On peut recenser toutes les répartitions possibles :
· avec 1 tas : (7)
· avec 2 tas : (6,1) , (5,2) , (4,3)
· avec 3 tas : (5,1,1) , (4,2,1) , (3,3,1) , (3,2,2)
· avec 4 tas : (4,1,1,1) , (3,2,1,1) , (2,2,2,1)
· avec 5 tas : (3,1,1,1,1) , (2,2,1,1,1)
· avec 6 tas : (2,1,1,1,1,1)
· avec 7 tas : (1,1,1,1,1,1,1).
On peut alors déterminer la répartition "fille" après 1 manipulation de chacune des répartitions.
Le résultat de cette étude peut être présenté sous la forme du schéma suivant :

On constate sur ce schéma deux propriétés remarquables :
· certaines répartitions ne sont issues d'aucune autre
· il existe, sur le côté droit du schéma, un cycle de 4 répartitions (sur fond vert) dans lequel on rentre au bout d'un nombre limité de manipulations (4 au plus) et dont on ne sort plus.
Ce cycle est formé de 4 répartitions mais il n'existe que 2 points d'entrée dans le cycle.

On a déjà vu que 2007 = 3 + 501 × 4.
Or on constate sur le schéma qu'aucun chemin menant à la répartition (4,2,1) et ne comportant pas de tour entier du cycle n'a une longueur supérieure à 5.
La seule façon d'aboutir à la répartition (4 ,2,1) après 2007 manipulations est donc de partir d'une répartition menant à (4,2,1) en 3 manipulations puis de faire 501 tours de cycle.

On voit alors aisément sur ce schéma que quatre répartitions se situent à 3 manipulations de (4,2,1) : ce sont (3,3,1) , (4,3) , (7) et (2,1,1,1,1,1).

3°) Après 2007 manipulations, on obtient obligatoirement une répartition du cycle, c'est donc l'une de ces quatre répartitions que Paul a montré à Virginie.

On vient de voir que quatre répartitions peuvent conduire en 2007 manipulations à la répartition (4,2,1). Ce n'est donc pas la répartition (4,2,1) que Paul a montrée à Virginie.

Etudions le même problème pour les trois autres répartitions du cycle.

Le plus long chemin menant pour la première fois à la répartition (3,3,1) a pour longueur 6. La seule façon d'aboutir à la répartition (3,3,1) après 2007 manipulations est donc de partir d'une répartition menant à (3,3,1) en 3 manipulations puis de faire 501 tours de cycle. Les répartitions se situant à 3 manipulations de (3,3,1) sont (3,2,2) , (6,1) et (3,1,1,1,1).

Le plus long chemin menant pour la première fois à la répartition (3,2,2) a pour longueur 6. La seule façon d'aboutir à la répartition (3,2,2) après 2007 manipulations est donc de partir d'une répartition menant à (3,2,2) en 3 manipulations puis de faire 501 tours de cycle. Les répartitions se situant à 3 manipulations de (3,2,2) sont (3,2,1,1) , (2,2,2,1) , (2,2,1,1,1) et (5,2).

Le plus long chemin menant pour la première fois à la répartition (3,2,1,1) a pour longueur 7. Il y a donc deux façons d'aboutir à la répartition (3,2,1,1) après 2007 manipulations :
· ou bien, on part d'une répartition menant à (3,2,1,1) en 3 manipulations puis on fait 501 tours de cycle
· ou bien, on part d'une répartition menant à (3,2,1,1) en 7 manipulations puis on fait 500 tours de cycle.
Pour le premier cas, les répartitions (4,2,1) , (4,1,1,) et (5,1,1) conviennent.
Pour le second cas, la répartition (1,1,1,1,1,1,1) convient.

La seule répartition finale laissant à Virginie l'hésitation entre trois répartitions initiales est donc (3,3,1). 

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