Correction Exercice 2 National 2007

1°) L'égalité m² - p² = 8 peut s'écrire (m + p)(m - p) = 8.
m et p devant être des entiers, m + p et m - p doivent aussi être des entiers, m + p étant le plus grand des deux.
La décomposition de 8 en produit de deux facteurs n'est possible que de deux façons : 8 = 8 × 1 et 8 = 4 × 2.

Le système a pour solution m = 9/2, p = 7/2 qui ne convient pas à notre problème.

Le système a pour solution m = 3, p = 1 qui est donc l'unique réponse à la question posée.

2°)

Posons AB = d, CD = p. Appelons I le point d'intersection de (AD) et (BC). L'angle ayant pour mesure 45°, les triangles IAB, IMN et IDC sont tous isocèles rectangles. Donc IA = AB = d et aire(IAB) = d2. On sait aussi MN = IM = IA - AM = d - 2 d'où aire(IMN) = (d - 2)2. De même ID = DC = p d'où aire(IDC) = p2.

Alors aire(MNBA) = aire(IAB) - aire(IMN) = d² - (d - 2)² et aire(MNCD) = aire(IMN) - aire(ICD) = (d - 2)² - p².
La condition aire(MNBA) = aire(MNCD) s'écrit donc d² - (d - 2)² = (d - 2)² - p²
qui équivaut à d² - (d - 2)² = (d - 2)² - p²
ou encore à 4d - 4 = (d² - 4d + 4) - p²
ou bien d² - 8d + 8 - p² = 0
qu'on peut écrire d² - 8d + 16 - 8 - p² = 0
soit encore (d - 4)² - p² = 8
soit enfin m² - p² =  = 8 en posant m = d - 4.

D'après le 1°), on obtient alors m = 3 et p = 1, soit d - 4 = 3 et p = 1, d'où d = 7 et p = 1.

On a donc AB = 7 et DC = 1. Dans ce cas, IA = 7 et ID = 1, et on trouve AD = 6. 

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