Partie A : Questions préliminaires :
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.
1- Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
2- Quelle la plus grande valeur possible pour leur somme ?
Partie B: Les triangles magiques
On place tous les nombres
entiers de 1 à 9
dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle,
comme indiqué
dans la figure ci-dessous:
Si
les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés
du triangle ont la même valeur S, on dit que le triangle est S-magique.
(C’est à dire si : n1 + n2 + n3 + n4 = n4 + n5 + n6 + n7 = n7 + n8
+ n9 + n1 = S)
On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de S.
1-
Compléter le triangle suivant de sorte qu’il soit 20-magique, c'est-à-dire
S-magique de somme S = 20.
2-
On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres
placés sur les trois sommets.
a. Prouver qu’on
a 45 + T = 3S.
b. En déduire qu’on a 17 = S = 23
c.
Donner la liste des couples (S , T) ainsi envisageables.
3- Proposer un triangle 17-magique.
4- Prouver qu’il n’existe pas de triangle 18-magique.
5- a. Montrer que dans un triangle 19-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
b. Proposer un triangle 19-magique.
6- Prouver que, s’il existe un triangle S-magique, alors il existe aussi un triangle (40 - S) -magique.
7- Pour quelles valeurs de S existe-t-il au moins un triangle S-magique ?
Exercice 2:Des ciseaux
et du papier
On plie une feuille de papier rectangulaire
le long d’une de ses diagonales ; on coupe les parties qui ne se
recouvrent pas puis on déplie la feuille.
On admet qu’ainsi
on obtient toujours un losange (cette propriété sera
démontrée dans la dernière question de l’exercice).
L’unité
de longueur choisie est le centimètre.
1- Construire le losange obtenu à partir d’une feuille
rectangulaire de longueur L = 16 et de largeur l = 8.
On
pourra noter c la longueur du côté du losange.
Les questions suivantes sont indépendantes.
2- Dans cette question, la feuille rectangulaire de départ a pour longueur 16 et pour largeur 8. Calculer la longueur du coté du losange.
3- On veut maintenant obtenir un losange de côté
7,5 à partir d'une feuille dont les dimensions (longueur
et largeur) sont des nombres entiers.
Quelles
sont les dimensions possibles pour la feuille de départ ?
4- À partir d’une feuille de longueur L, on a obtenu un
losange dont l'aire est égale à 75 % de celle de la
feuille de départ.
Exprimer, en fonction
de L, la largeur l de la feuille de départ.
5- Démontrer le résultat admis initialement, à savoir que la manipulation décrite en début d'énoncé conduit toujours à un losange.
Grenoble:
Exercice 1:
En 1675, François Blondel
se penche sur la question du calcul de l'escalier dans son Cours
d'architecture enseigné à l'académie royale
d'architecture.
Il constate « qu'à chaque fois qu'on
s'élève d'un pouce, la valeur de la partie horizontale
se trouve réduite de deux pouces et que la somme du double
de la hauteur de la marche et de son giron doit demeurer constante
et être de deux pieds ».
Autrement dit : M = 2h
+ g, où M est le module ou pas et vaut 2 pieds (64,8 cm),
h la hauteur de la marche, et g son giron (profondeur d'une marche
d'escalier mesurée en son milieu).
L'idée directrice est que l'effort fait par la personne
qui monte soit constant que l'escalier soit ou non droit.
De
nos jours, le pas usuel est de 63 cm. Ainsi on a : 2h + g = 63.
Dans
cet exercice toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.
Les réponses seront arrondies à 0,1cm.
Dans
les constructions modernes l'échappée de tête
doit être d'au moins 2 mètres.
Dans l'étude
qui suit, la hauteur à monter H est de 3 mètres, la
dalle a une épaisseur de 30 centimètres.
Un escalier
est déterminé par le nombre de marches, leur hauteur
et leur giron.
1- On réalise un escalier droit de 19 marches. La trémie
mesure 4,8 mètres.
Calculer le
giron, le reculement et l’échappée de tête de
l’escalier.
2- On dispose d'un reculement maximum de 4 mètres. Calculer
les dimensions de l'escalier le moins pentu possible.
Quelle
doit être la dimension minimale de la trémie ?
3- On dispose d'une trémie de 2,60 mètres. Quelles sont les dimensions de l'escalier le moins pentu possible ? Quel est son reculement ?
Exercice 2:
Voici
un petit jeu. Au départ, on dispose de 16 cases numérotées
comme indiquées ci-dessous.
|
1 |
12 |
13 |
14 |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
|
31 |
32 |
33 |
34 |
|
41 |
42 |
43 |
44 |
On s’autorise à faire autant
de fois que l'on veut les actions suivantes :
• Choisir les deux
premières lignes ou les deux dernières et les échanger.
•
Choisir les deux premières colonnes ou les deux dernières
et les échanger.
• Choisir une ligne ou une colonne et
échanger le premier terme avec le dernier et le deuxième
avec le troisième.
1- Montrer que l’on peut obtenir la position suivante :
|
22 |
21 |
24 |
23 |
|
12 |
11 |
14 |
13 |
|
42 |
41 |
44 |
43 |
|
32 |
31 |
34 |
33 |
2- Peut-on obtenir n’importe quelle position ? Si oui pourquoi, sinon donner une position impossible et expliquer
Marseille:
Exercice
1:
Une épreuve
de mathématiques comporte quatre questions.
Pour chaque
question, on obtient 0 point si la réponse est fausse ou
5 points si la réponse est bonne.
Une des questions consiste à trouver l’aire totale des six faces d’un cube dont le côté s’exprime par un nombre entier de mètres.
Une autre des questions est la suivante
:
« Le prix d’une chemise, vendue avant les soldes à
20 €, baisse de 20 %. Quel est son nouveau prix ? »
Les réponses des élèves,
sans unité, sont données par le tableau suivant :
Les notes 0 et 20 ont toutes deux
été attribuées.
Quelles sont les notes de
chacun des élèves ?
Justifier les réponses
données.
Exercice
2:
Pour les besoins de
son nouveau spectacle, le célèbre chanteur Johnny
Rockstar souhaite créer une scène de spectacle moderne.
Cette
scène est représentée vue de dessus par le
schéma suivant :
Le
demi-cercle C1
de centre O passant par le point A et le demi-cercle C2
de diamètre [AB] sont tangents en A.
La droite (OD) est
axe de symétrie de la figure et le point D appartient à
C1
.
Le demi–cercle C3
est le symétrique de C2
par rapport à (OD) .
Le point E est le point d’intersection
du segment [ OD et de C2
.
Des contraintes de constructions imposent que OA = 10m et DE
= 6m.
1– Calculer le rayon de C2 .
2–
C4
est le cercle de centre I passant par le point D.
C4
est tangent à C1
en D, tangent à C2
en J, et tangent à C3
en K.
Calculer le rayon de
C4
.
Versailles:
Exercice
1:
Exercice
2: