Liste 1:                          Liste 2:

1: Montrer qu'il n'existe que trois valeurs de n pour lesquelles on peut paver le plan avec
    des polygones réguliers égaux ayant le même nombre n de côtés.

2: ABCD est un quadrilatère convexe tel que la droite (CD) soit tangente au cercle de diamètre
   [AB].
   Démontrer que (AB) est tangente au cercle de diamètre [CD] si et seulement si
   (BC) est parallèle à (AD).

3: .Un cylindre de diamètre inférieur 10 cm contient de l'eau jusqu'a une hauteur de 4 cm.
    On immerge une boule qui affleure juste la surface de l'eau.
    C'est à dire que le plan de cette surface est tangent à la boule.
    Question
    Quel est à 0,001 près le rayon de la boule?

4: A , B et C sont trois points du plan muni d'un repère orthonormé.
    Les coordonnées de ces points sont respectivement (0 ; 0) , (b ; 0) et  (3 ; 4) , b est un nombre réel > 0.
    K est le centre du cercle (C) inscrit au triangle ABC.
    Question
    Quels sont les coordonnées de K et le rayon du cercle (C) en fonction de b?
    Comment chosir le point B pour K et le centre de gravité du triangle ABC soient égaux ?

5: ABCD est un carré dont les côtés ont pour longueur 1.
    M , P , R et S sont 4 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] et [DA].
    Montrer que     2 < MP² + PR² + RS² + SM² < 4

6:  ABC est un triangle (A , B et C non alignés).
     M , N et P sont les centres respectifs de [AB] , [BC] et [CA].
     F , G et H sont 3 points situés à l'extérieur du triangle ABC tels que
     MF = AB  , NG = BC  ,  HP = AC , (MF) (AB) , (NG) (BC) et  (HP) (AC).
     Déterminer

7: On rappelle que .
    ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R = 1cm. x est réel > 0.
    M , N , P, Q et R sont 5 points situés respectivement sur [AB] , [BC] , [CD] , [DE] et [EA] tels que:
    AM = BN = CP = DQ = ER = x.
    Questions:
    Déterminer la longueur des côtés du pentagone ABCDE ainsi que son aire.
    Montrer que MNPQR est un pentagone régulier et calculer en fonction de x la longueur de ses côtés ainsi que son aire.
    Pour quelle valeur de x l'aire de MNPQR est-elle maximale ?

8: (P) est la parabole d'équation "y = x² " dans le plan muni d'un repère orthonormé.
    A est le point de (P) d'abscisse 2, (T_A) est la tangente à (P) en A.
    Montrer qu'il existe exactement deux cercles admettant pour tangentes la droite (T_A) et l'axe des abscisses.
    Déterminer le centre et le rayon de chacun de ces cercles.

9: Montrer que pour tout triplet ( x , y, z) de réels positifs, on a : x(x-z)² + y(y-z)² > (x-z)(y-z)(x+y-z)
    Indications:
    Commencez par remarquer que l'on peut supposer que x > y > z > 0 . (dans les autres cas c'est évident)
    Posez alors X = x-z , Y=y-z et Z=x+y-z. Ceci donne z = Z-X-Y , x=Z-Y et y=Z-X.
    avec les relations: X > 0 , Y > 0 et Z > X + Y.
    On veut alors : X²(Z-Y) + Y²(Z-X) - XYZ > 0.
    Or, X²(Z-Y) + Y²(Z-X) - XYZ = Z(X² + Y² - XY) - (X + Y)XY
    Comme Z > X + Y et que X et Y sont > 0 , on a donc:
    X²(Z-Y) + Y²(Z-Y) - XYZ > Z(X² + Y² - XY) - ZXY = Z(X² + Y² - 2XY) = Z(X + Y)² > 0.